家長是孩子最好的老師，

這是奧數君第895天給出奧數題講解。

今天的題目是分數問題，

題目來自美國的一次數學競賽，

解題所用知識不超過小學6年級。

題目（超5星難度）：

a和b都是非零的自然數，且b小於100。把分數a/b化為小數以後，小數點後會不會出現連續三位數是143的情況？

輔導方法：

將題目寫給小朋友，

讓他自行思考解答，

若20分鐘仍然沒有思路，

再由家長進行提示性講解。

講解思路：

這道題屬於分數問題，

雖然題目非常簡短，

但難度很高簡直無從下手。

要想說明可能會出現143，

需要構造出相應的a/b；

要想說明不會出現143，

需要給出嚴格的證明。

在此說個小技巧，

大部分問會不會的題目，

答案多數是不會，

思考時要重點從證明的角度著手。

由於143的位置是任意的，

得要辦法固定它們的位置。

因此總的解題思路是：

假設會出現連續三位數是143，

看能否推出矛盾。

首先把小數化為0.143...的形式，

然後利用b的範圍不大於100

步驟1：

先思考第一個問題，

假設會出現連續三位數是143，

把小數轉化為0.143...的形式。

如果小數點後第k+1個數字起，

連續三位數是143，

則a/b乘以10^k後，

(註：10^k表示10的k次方。)

就會變成0.143…的形式。

故存在自然數m,

使a/b*10^k=m+0.143…,

化簡即(a*10^k-m*b)/b=0.143…。

因此存在自然數n=a*10^k-m*b,

使n/b=0.143…。

步驟2：

再思考第二個問題，

考慮使用b的範圍。

由於0.143 <=0.143… <0.144,

故0.143 <=n/b <0.144，

兩端同時乘以1000b可得：

143b <= 1000n < 144b,

注意到143*7=1001，144*7=1008，

兩端同時乘以7可得：

1001b <= 7000n < 1008b,

兩端同時減去1000b有：

b <= 7000n-1000b < 8b。

由於b>=1,

故1 <= 7000n-1000b；

由於b < 100,

故7000n-1000b < 800。

因此1 <= 7000n-1000b< 800。

步驟3：

綜合上述幾個問題，

考慮原題目的答案。

在步驟2中得到了7000n-1000b的範圍，

由於7000n-1000b=1000(7n-b)，

故7000n-1000b是1000的整數倍。

但1到800之間沒有1000的整數倍，

出現矛盾。

這是因為假設的條件並不成立，

所以不會出現連續三位數是143。

思考題（3星難度）：

在十進位下的無限循環小數a，在7進位下還一定是無限循環小數嗎？

獲得思考題答案方法：

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微信回復「20190630」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

同類題目鏈接：

19年6月3日題目（單位分數問題）

19年5月29日題目（分數問題）

19年5月2日題目（單位分數問題）

19年4月21日題目（分數問題）

18年7月30日題目（循環小數）

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