複流形(1)

複流形在物理中最著名的應用，就是弦論中的Calabi-丘流形，它是緊K?hler流形，而K?hler流形是複流形。為了引入複流形，首先介紹一些多複變函數和代數的主要結論。

近復結構

令是有限維線性空間。稱自同構是上的近復結構，若 $J^2=-mathrm{Id}$ 。若是定義了近復結構的實線性空間，那麼它自然地是一個複線性空間，只要定義復的數乘，其中；反過來，複線性空間上必定有近復結構，只要令。假設是定義了近復結構的m維實線性空間，並且取n個向量構成極大無關組 ${v_alpha}$ ，同時令 $v_{n+alpha}=Jv_alpha$ ，這樣得到2n個向量 ${v_alpha,Jv_alpha}$ ，若那這恰好是的一組基，這說明能定義近復結構的實線性空間必是偶數維的。在常微分方程(2)中定義過實線性空間的復化，用張量積的語言表述就是 $V_mathbb{C}=Votimes_mathbb{R}mathbb{C}$ ，其中 $otimes_mathbb{R}$ 說明自由線性空間中形式線性組合的係數是實數。若取定和，那麼有形如 $v=v_1otimes1+v_2otimesmathrm{i}$ 的唯一分解，也就是說而。這樣可以定義 $V_mathbb{C}$ 上的數乘：，其中 $z_1=a_1+mathbb{i}b_1$ ， $z_2=a_2+mathbb{i}b_2$ 而 $v=uotimes z_2 =v_1otimes1+v_2otimes mathbb{i}$ 且，。這樣定義的數乘和複數乘一樣： $uotimes(z_1z_2)=uotimes((a_1a_2-b_1b_2)+mathrm{i}(a_1b_2+b_1a_2))$ $=(a_1v_1-b_1v_2)otimes 1+(a_1v_2+b_1v_1)otimesmathbb{i}$ 。常常直接扔掉張量積，就寫成複數： $v=v_1+mathbb{i}v_2$ 。

作為線性運算元，在中沒有本徵值，但可以把它唯一延拓成自同構 $J:V_mathbb{C} o V_mathbb{C}$ ，此時它有本徵值。記這兩個本徵值對應的子空間為 $V^{1,0}={vin V_mathbb{C}|Jv=mathbb{i}v}$ 和 $V^{0,1}={vin V_mathbb{C}|Jv=-mathbb{i}v}$ ，那麼容易驗證 $V_mathbb{C}=V^{1,0}oplus V^{0,1}$ 。若 $v=v_1+mathbb{i}v_2in V^{1,0}$ ，那麼 $Jv=mathbb{i}v=-v_2+mathbb{i}v_1$ ，即而，那麼，即 $ar vin V^{0,1}$ ，這說明復共軛就是 $V^{1,0}$ 和 $V^{0,1}$ 之間的同構映射。再考慮對偶空間和 $V^*_mathbb{C}$ ，其中 $V^*=mathrm{Hom}_mathbb{R}(V,mathbb{R})$ 是作為實線性空間的實對偶，而 $V^*_mathbb{C}=(V^*)_mathbb{C}=V^*otimes_mathbb{R}mathbb{C}=mathrm{Hom}_mathbb{R}(V,mathbb{C})$ 是對偶空間的復化，它和復化空間的復對偶 $(V_mathbb{C})^*=mathrm{Hom}_mathbb{C}(V_mathbb{C},mathbb{C})$ 是同構的，所以兩種都可作為定義。這兩者的近復結構可由定義，其中或 $V^*_mathbb{C}$ ，或 $V_mathbb{C}$ 。這樣定義的確實是近復結構，由於。在上仍沒有實本徵值，但在 $V^*_mathbb{C}$ 上有本徵值，並且易驗證 $(V^*)^{1,0}=(V^{1,0})^*:=V^{*(1,0)}$ ， $(V^*)^{0,1}=(V^{0,1})^*:=V^{*(0,1)}$ ，且 $V^*_mathbb{C}=V^{*(0,1)}oplus V^{*(1,0)}$ 。

對可定義張量積，進一步可定義外代數 $Lambda(V)=igoplus_{k=0}^nLambda^k(V)$ ，類似地可以定義 $Lambda(V_mathbb{C})=igoplus_{k=0}^nLambda^k(V_mathbb{C})$ 。此外，定義 $Lambda^{p,q}(V)=Lambda^p(V^{1,0})wedgeLambda^q(V^{0,1})$ ，稱 $omegain Lambda^{p,q}(V)$ 是(p,q)雙度的（of bidegree (p,q) ）。

命題 $Lambda^{k}(V_mathbb{C})=igoplus_{p+q=k}Lambda^{p,q}(V)$ 。

這樣外代數可以被分解為 $Lambda(V_mathbb{C})=igoplus_{k=0}^nigoplus_{p+q=k}Lambda^{p,q}(V)$ ，每個 $Lambda^{p,q}(V)$ 都是 $Lambda(V_mathbb{C})$ 的一個子空間，那麼可以定義投影映射 $Pi^{p,q}:Lambda(V_mathbb{C}) oLambda^{p,q}(V)$ 和 $Pi^{k}:Lambda(V_mathbb{C}) oLambda^{k}(V_mathbb{C})$ 。類似地，可以定義 $Lambda(V_mathbb{C}^*)$ 和 $Lambda^{p,q}(V^*)=Lambda^p(V^{*(1,0)})wedgeLambda^q(V^{*(0,1)})$ ，並且同樣有 $Lambda(V_mathbb{C}^*)=igoplus_{k=0}^nLambda^k(V^*)$ $=igoplus_{k=0}^nigoplus_{p+q=k}Lambda^{p,q}(V^*)$ ，稱 $omegain Lambda^{p,q}(V^*)$ 是(p,q)形式。類似地還可以定義自然投影，依然記作 $Pi^{k}$ 和 $Pi^{p,q}$ 。

復微分形式

令 $f:mathbb{C}^n omathbb{C}^n$ 。那麼可表示為，其中每個是 $mathbb{C}^n omathbb{C}$ 的映射。而每個 $z^alpha=x^alpha+mathrm{i}y^alpha$ ，所以又可以分解作 $+mathrm{i}v^alpha(x^1,cdots,x^n,y^1,cdots,y^n)$ ，這樣得到兩個實函數 $u^alpha,v^alpha:mathbb{R}^{2n} omathbb{R}$ 。若在開集 $Usubsetmathbb{C}^n$ 上，任意使Cauchy-Riemann條件 $frac{partial u^alpha}{partial x^eta}=frac{partial v^alpha}{partial y^eta}$ ， $frac{partial v^alpha}{partial y^eta}=-frac{partial u^alpha}{partial x^eta}$ 成立，則稱是上的全純函數。如果把實部和虛部統一符號，令 $y^alpha=x^{n+alpha}$ ， $v^alpha=u^{n+alpha}$ ，那麼 $L=left( egin{align} frac{partial u^alpha}{partial x^eta}&frac{partial u^alpha}{partial y^eta}\frac{partial v^alpha}{partial x^eta}&frac{partial v^alpha}{partial y^eta} end{align} ight):=(frac{partial u^j}{partial x^k})$ 相當於Jacobian。再引入矩陣 $J=left( egin{matrix} 0&-I_n\I_n&0 end{matrix} ight)$ ，那麼C-R條件可表為。由於是可逆的，所以有 $J^{-1}=-J=J^T$ ，所以也有。

取 $Usubsetmathbb{C}^nsimeqmathbb{R}^{2n}$ 是開集，它的切空間可以看作是2n維實線性空間，基取 ${frac{partial}{partial x^alpha},frac{partial}{partial y^alpha}}$ ，對偶空間的對偶基取 ${mathrm{d}x^alpha,mathrm{d}y^alpha}$ 。在上可以引入近復結構使得 $J(frac{partial}{partial x^alpha})=frac{partial}{partial y^alpha}$ ， $J(frac{partial}{partial y^alpha})=-frac{partial}{partial x^alpha}$ ，這實際上就是上面的矩陣 $mathcal{J}=left( egin{matrix} 0&-I_n\I_n&0 end{matrix} ight)$ 的轉置 $mathcal{J}^T$ ，而我們知道線性映射在對偶空間下的矩陣是原矩陣的轉置，所以對偶空間上的復結構滿足 $J(mathrm{d}x^alpha)=-mathrm{d}y^alpha$ 和 $J(mathrm{d}y^alpha)=mathrm{d}x^alpha$ 。同時，在形式上 $mathrm{d}z^alpha=mathrm{d}(x^alpha+mathrm{i}y^alpha)=mathrm{d}x^alpha+mathrm{i}mathrm{d}y^alpha$ ，所以復化切空間 $T_{bmathbb{C}}U$ 和餘切空間 $T^*_{bmathbb{C}}U$ 上應該考慮 $mathrm{d}z^alpha$ 和 $mathrm{d}ar z^alpha=mathrm{d}x^alpha-mathrm{i}mathrm{d}y^alpha$ ，其對偶基是 $frac{partial}{partial z^alpha}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x^alpha}-mathrm{i}frac{partial}{partial y^alpha})$ 和 $frac{partial}{partial ar z^alpha}=frac{1}{2}(frac{partial}{partial x^alpha}+mathrm{i}frac{partial}{partial y^alpha})$ ，這樣有 $mathrm{d}z^alpha(frac{partial}{partial z^alpha})=1$ 和 $mathrm{d}ar z^alpha(frac{partial}{partial ar z^alpha})=1$ 。而恰好， $J(frac{partial}{partial z^alpha})=mathrm{i}frac{partial}{partial z^alpha}$ ， $J(frac{partial}{partialar z^alpha})=-mathrm{i}frac{partial}{partial ar z^alpha}$ ，所以切空間有直和分解 $T_{bmathbb{C}}U=T_b^{1,0}Uoplus T^{0,1}_bU$ ，其中 ${frac{partial}{partial z^alpha}}$ 構成 $T_b^{1,0}U$ 的一組基， ${frac{partial}{partial ar z^alpha}}$ 構成 $T_b^{0,1}U$ 的一組基。類似地有餘切空間的直和分解 $T^*_{bmathbb{C}}U=T_b^{*(1,0)}Uoplus T^{*(0,1)}_bU$ ，且 $T_b^{*(1,0)}U=mathrm{Span}{mathrm{d}z^alpha}$ ， $T_b^{*(0,1)}U=mathrm{Span}{mathrm{d}ar z^alpha}$ 。在 ${frac{partial}{partial z^alpha},frac{partial}{partial ar z^alpha}}$ 下全微分可寫作 $mathrm{d}f=sumfrac{partial f}{partial z^alpha}mathrm{d}z^alpha+sumfrac{partial f}{partial ar z^alpha}mathrm{d}ar z^alpha$ ，C-R條件就是 $frac{partial f}{partial ar z^alpha}=frac{partial u}{partial x^alpha}+mathrm{i}frac{partial v}{partial x^alpha}+mathrm{i}frac{partial v}{partial y^alpha}-frac{partial v}{partial y^alpha}=0$ ，從而對全純函數有 $mathrm{d}f=sumfrac{partial f}{partial z^alpha}mathrm{d}z^alpha$ 。

把所有切空間 $T_b^{1,0}U$ 並起來，得到切叢 $T^{1,0}U$ 。類似可以得到 $T^{0,1}U$ ， $T_mathbb{C}U$ ， $T^{*(1,0)}U$ ， $T^{*(0,1)}U$ 和 $T^*_mathbb{C}U$ ，這些向量叢的局部是 $U imesmathbb{C}^n$ 。自然可定義外代數 $Lambda^p(T^{*(1,0)}U)$ 和 $Lambda^q(T^{*(0,1)}U)$ ，進而定義張量叢 $Lambda^kT^*_mathbb{C}U$ 和 $Lambda^{p,q}(U)=Lambda^p(T^{*(1,0)}U)wedgeLambda^q(T^{*(0,1)}U)$ ，和前面一樣有直和分解 $Lambda^kT^*_mathbb{C}U=igoplus_{p+q=k}Lambda^{p,q}(U)$ 。定義截面的線性空間為 $A^k_mathbb{C}U:=Gamma(Lambda^kT^*_mathbb{C}U)$ 和 $A^{p,q}(U)=Gamma(Lambda^{p,q}(U))$ ，那麼同樣有直和分解 $A^k_mathbb{C}U=igoplus_{p+q=k}A^{p,q}(U)$ 。稱 $omegain A^{p,q}(U)$ 是微分(p,q)形式。同樣記自然投影 $Pi^{p,q}:A^k_mathbb{C}U o A^{p,q}(U)$ 。

復微分形式的空間 $A^k_mathbb{C}U$ 也可以被看做是實微分形式空間的復化 $Omega^k (U)otimes_mathbb{R}mathbb{C}$ ，所以實光滑微分形式上定義的外微分可以直接拓展到復微分形式上，只要令，其中的實部和虛部都是光滑的，這樣就定義了外微分 $mathrm{d}:A^k_mathbb{C}U o A^{k+1}_mathbb{C}U$ 。對於一個(p,q)形式，，此時應有 $A^{k+1}_mathbb{C}U=A^{p+1,q}(U)oplus A^{p,q+1}(U)$ ，所以可以定義兩個運算元 $partial:Pi^{p+1,q}circmathrm{d}$ 和 $ar partial:Pi^{p,q+1}circmathrm{d}$ ，這兩個運算元被稱作Dolbeault運算元。

引理，和三者有如下關係：(1) ；(2) ，；(3) $partial(alphawedgeeta)=(partialalpha)wedgeeta+(-1)^{p+q}alphawedge(partialeta)$ ， $arpartial(alphawedgeeta)=(arpartialalpha)wedgeeta+(-1)^{p+q}alphawedge(arpartialeta)$ 其中 $alphain A^{p,q}(U)$ 。

在局部坐標下，微分(p,q)形式可表示成 $omega=sumomega_{j_1cdots j_pl_1cdots l_q}mathrm{d}z^{j_1}wedgecdotswedgemathrm{d}z^{j_p}wedgemathrm{d}ar z^{l_1}wedgecdotswedgemathrm{d}ar z^{l_q}$ ，據此易看出 $aromegain A^{q,p}(U)$ 。可以算出 $partial=sum_{j=1}^nmathrm{d}z^jwedgefrac{partial}{partial z^j}$ ， $arpartial=sum_{j=1}^nmathrm{d}ar z^jwedgefrac{partial}{partialar z^j}$ ，而 $mathrm{d}=sum(mathrm{d}x^jwedgefrac{partial}{partial x^j}+mathrm{d}y^jwedgefrac{partial}{partial y^j})$ $=frac{1}{2}sum(mathrm{d}z^j+mathrm{d}ar z^j)wedgefrac{partial}{partial x^j}$ $-frac{mathrm{i}}{2}sum(mathrm{d}z^j-mathrm{d}ar z^j)wedgefrac{partial}{partial y^j}$ $=sum_{j=1}^n(mathrm{d}z^jwedgefrac{partial}{partial z^j}+mathrm{d}ar z^jwedgefrac{partial}{partialar z^j})$ 。

實光滑流形上閉形式是局部恰當的（Poincaré引理）。對於復微分形式，有類似的結論，即所謂的 -Poincaré引理：

命題(Poincaré) 令 $B_varepsilon(z_0)={|z-z_0|<varepsilon}$ 是1維復開球，令開集滿足 $ar B_varepsilonsubset Usubsetmathbb{C}$ ，那麼 $forall alpha=fmathrm{d}ar zin A^{0,1}(U)$ ， $eta(z)=frac{1}{2pimathrm{i}}int_{B_varepsilon}frac{f(zeta)}{zeta-z}mathrm{d}zetawedgemathrm{d}ar zeta$ 使上有成立。

高維時，有Dolbeault-Grothendieck引理：

命題(Dolbeault-Grothendieck) 令n維復開球和開集滿足 $ar B_varepsilonsubset Usubsetmathbb{C}^n$ ，若 $alphain A^{p,q}(U)$ 滿足，那麼存在 $etain A^{p,q-1}(B_varepsilon)$ 使上有成立。

若 $omegain A^{p,0}(U)$ 則稱是全純形式，並記。

層

稱第二可數的Hausdorff空間是n維複流形，若上有一個開覆蓋 ${U_alpha}$ ，並且存在微分同胚 $varphi_alpha:U_alpha omathbb{C}^n$ 使每個開集與 $mathbb{C}^n$ 微分同胚，並且任意兩個要麼滿足，要麼 $varphi_etacircvarphi_alpha^{-1}:varphi_alpha(U_alphacap U_eta) ovarphi_eta(U_alphacap U_eta)$ 是 $mathbb{C}^n omathbb{C}^n$ 的全純函數。這樣的開集和微分同胚的偶構成了複流形的圖。稱是複流形上的全純函數，若任意圖使 $fcirc varphi_alpha^{-1}$ 是 $mathbb{C}^n omathbb{C}$ 的全純函數。令也是複流形，稱連續映射是全純的，若對圖和， $psicirc fcirc varphi^{-1}$ 是 $mathbb{C}^n omathbb{C}$ 的全純函數。若兩個複流形間存在全純的同胚映射則稱二者是雙全純的(biholomorphic)，也稱這個全純的同胚映射是雙全純映射。注意，並未要求雙全純映射的逆也是雙全純的，因為雙全純的逆必定是雙全純的，這是多復變中的一個結論。其次注意到，我們並未要求圖是全純的！最簡單的例，取開集本身是複流形，若圖是全純的，那麼它是雙全純的，但複分析告訴我們任意開集不可能與雙全純。至於複流形上的微分形式，可以完全照搬前面一節的內容而不做任何修改，除了把開集換成。而對整體，只需要在各個交疊處有 $omega_alpha|_{U_alphacap U_eta}=omega_eta|_{U_alphacap U_eta}$ ，就可得到整體的微分形式。

令是拓撲空間，那麼所有開集構成一個範疇，記作，其中態射可以取連續函數。令是另一個範疇，稱上的函子是預層(presheaf)。對任意滿足的開集，稱態射 $r_{V,U}:mathscr{F}(U) omathscr{F}(V)$ 是限制映射，並且對任意三個開集，有 $r_{U,W}=r_{V,W}circ r_{U,V}$ 成立，也就是說預層是逆變函子。這也說明 $r_{U,U}$ 是恆等態射 $mathrm{Id}_{mathscr{F}(U)}$ 。對於和，通常記 $alpha|_{V}:=r_{U,V}(alpha)$ 。若範疇是群或環，一般還會追加定義。也直接稱範疇是一個預層。例如，實光滑流形上所有光滑函數的環是一個預層，並且它還有兩個額外的性質：對任意多個開集的並集，(1) 對滿足 $f|_{U_alpha}=g|_{U_alpha}$ 的有；(2) 若對所有參數都給定，並且任意都滿足 $f_alpha|_{U_alphacap U_eta}=f_eta|_{U_alphacap U_eta}$ ，那麼存在使有 $f|_{U_alpha}=f_alpha$ 。若一個預層滿足上述兩條追加性質，則稱預層是層(sheaf)。又例，向量叢上所有截面就構成一個範疇，並且是層。在復幾何中，具有重要地位的是全純函數層，通常記 $mathcal{O}_M$ 是複流形上全純函數的層。我們也把層中對象的元素稱為截面。如果把縮成一個點，那麼取極限 $mathscr{F}_x:=lim_{U o xin U}mathscr{F}(U)$ 得到的集合稱作是在點的莖(stalk)。採用更代數一點的定義方式，就是說 $mathscr{F}_x:={(U,s)|xin U,sinmathscr{F}(U)}/sim$ ，這裡等價關係是若存在開集滿足且。稱莖中等價類是一個芽(germ)。莖自然地繼承了層的結構，例如層是群範疇則莖是群。注意這裡的極限，通常稱這個極限是順極限或直極限(direct limit)，記作 $lim_{longrightarrow}mathscr{F}(U)=mathscr{F}_x$ ；在這裡不對它做過多解釋，只需要知道有這個東西即可，詳細定義可參考Rotman.An Introduction to Homological Algebra.

令和是層或者預層，並且它們的範疇一樣，比如說都是群範疇，或者都是線性空間範疇。稱是層同態或預層同態，若它誘導的 $varphi_U:mathscr{F}(U) omathscr{G}(U)$ 是相應範疇中的態射，比如和兩者都是群範疇，那麼和都是群，是群同態。並且額外要求，任意開集都有 $r^mathscr{G}_{U,V}circ varphi_U=varphi_Vcirc r^mathscr{F}_{U,V}$ ，這裡限制映射的上標是用來區分它是哪個層的。自然，層同態誘導的 $varphi_U:mathscr{F}(U) omathscr{G}(U)$ 誘導了莖之間的同態 $varphi_x:mathscr{F}_x omathscr{G}_x$ 。

對於層或預層同態，可以定義它的核與像。稱滿足 $mathrm{Ker}(varphi)(U)=mathrm{Ker}spacevarphi_U$ 的預層是同態的核；稱滿足 $mathrm{Im}(varphi)(U)=mathrm{Im}spacevarphi_U$ 的預層是同態的像。若額外地，是層同態，那麼是層，但一般仍是預層。為了讓也是層，引入伴隨層的概念。稱層是預層的伴隨層，若任意開集使 $mathscr{F}(U)={s|s:U oigcup_{xin U}mathscr{F}_x,s(x)inmathscr{F}_x}$ ，並且都存在滿足的開集和截面，使得有成立。稱層同態的像是預層的伴隨層，也記作，後續都默認指的是此伴隨層。

有了核與像，就可以開始同調代數，分析正合列。令 ${mathscr{F}^i}$ 是一些層， ${varphi^i:mathscr{F}^i omathscr{F}^{i+1}}$ 是一些層同態，稱層列 $omathscr{F}^{i}xrightarrow{varphi^{i}}mathscr{F}^{i+1}xrightarrow{varphi^{i+1}}mathscr{F}^{i+2} o$ 是層復形，若對有 $varphi^{i+1}circvarphi^{i}=0$ 。稱復形是正合的若對有 $mathrm{Ker}(varphi^{i+1})=mathrm{Im}(varphi^{i})$ 。稱三個層構成的正合復形 $0 omathscr{F}^0xrightarrow{varphi^0}mathscr{F}^1xrightarrow{varphi^1}mathscr{F}^2xrightarrow{}0$ 是短正合列。但即使有這個短正合列，一般誘導的 $0 omathscr{F}^0(U)xrightarrow{varphi_U^1}mathscr{F}^1(U)xrightarrow{varphi_U^2}mathscr{F}^2(U)xrightarrow{}0$ 不是短正合列。為解決此問題，引入概念：稱層是鬆弛的(flasque)，若任意開集都使限制映射 $r_{X,U}$ 是滿射。

引理若 $0 omathscr{F}^0xrightarrow{}mathscr{F}^1xrightarrow{}mathscr{F}^2xrightarrow{}0$ 是短正合列且 $mathscr{F}^0$ 是鬆弛的，那麼任意開集都使 $0 omathscr{F}^0(U)xrightarrow{}mathscr{F}^1(U)xrightarrow{}mathscr{F}^2(U)xrightarrow{}0$ 是短正合列。

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