本文是 Monsky-Washnitzer上同調 的後續. 在上文中，我們對光滑的仿射代數簇定義了一種稱為Monsky-Washnitzer上同調的 p -進上同調理論. 當然我們還希望對奇異的、非仿射的代數簇定義表現「良好」的 p - 進上同調理論. 這是 Berthelot 的偉大工作，他提出並建立了稱為剛性上同調 (rigid cohomology) 的 p -進上同調理論:

Berthelot, Pierre (1986), "Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p", Mémoires de la Société Mathématique de France .

主角

剛性上同調推廣了 晶體上同調 和 Monsky-Washnitzer上同調 ：設 k 是一個正特徵的 perfect 域， K:=Frac(W(k)) , 你輸入一個代數 k -簇 X (i.e. a scheme of finite type over k ), 剛性上同調輸出有限維 K -線性空間 H^{i}_{rig}(X/K) , 並且

  • 當 X 是光滑仿射代數簇時，它的剛性上同調和我們之前定義的 Monsky-Washnitzer上同調 是一致的： H^{i}_{rig}(X/K)simeq H_{MW}^{i}(X/K) .
  • 當 X 是光滑、proper 代數簇，它的剛性上同調和 晶體上同調 一致： H_{rig}^{i}(X/K)simeq H_{cris}^{i}(X/W)otimes_{W}K .

那麼問題來了，如何構造剛性上同調？

首先我們重申 p -進上同調的基本精神：

我們總是希望特徵 p 的域上的代數簇的 p -進上同調對應於它在特徵零的域上的提升的德拉姆上同調

而我們已經在 Monsky-Washnitzer上同調 中看到，在光滑仿射簇的情形，扮演 X 的提升（lift）的角色的實際上是一個剛性 K -空間 （這裡我們指的是 Tate 的 rigid space）：

X 先取一個光滑提升 ilde{X} （不唯一），接著作 p -進完備化得到一個形式 W -概型hat{X} （唯一了）, 然後考慮相應剛性 K -空間 hat{X}otimes_W K .

然後我們取的德拉姆上同調實際上是 hat{X}otimes_W K 的（超收斂）德拉姆上同調 （overconvergent de Rham comology）.

從這受到啟發，對一般的光滑 k -簇 X ，如果它的提升（對應某個剛性解析 K -空間）存在，我們「應該」定義它的剛性上同調 H^{i}_{rig}(X/K) 為它的提升的（超收斂）德拉姆上同調：

定義1：設 P 是一個光滑形式 W -概型使得 P imes_{W}k=X ，那麼定義光滑 k -簇 X 的剛性上同調為：

H_{rig}^{ast}(X):=H_{dR}^{ast}(Potimes_{W}K)

這裡 H_{dR}^{ast}(Potimes_{W}K) 是指剛性 K -空間 Potimes_{W}K 的超收斂德拉姆上同調.

註記：剛性 K -空間的通常德拉姆上同調錶現是非常糟糕的，正如我們在 Monsky-Washnitzer上同調 中看到，一個閉單位球的 1 -維上同調都是無限維的. 事實上，剛性空間的通常德拉姆上同調僅僅對 proper, smooth rigid space 表現良好；對 non-proper smooth rigid space, 我們得考慮它的超收斂德拉姆上同調(就是 Monsky-Washnitzer上同調 做的事情）; 如果還是奇異的，這是？？？ Elmar Grosse-Klonne 的工作：

  1. Rigid analytic spaces with overconvergent structure sheaf, J. reineangew. Math. 519 (2000), 73–95.
  2. Finiteness of de Rham cohomology in rigid analysis, Duke Math. J. 113 (2002),57–91.
  3. De Rham cohomology of rigid spaces, Math. Z. 247 (2004), no. 2,223{240 .

那麼，如果提升不存在呢？如果它是奇異的呢？

回顧在特徵零的情形我們是怎麼處理奇異的情形

宇帆：代數簇的德拉姆上同調?

zhuanlan.zhihu.com圖標

我們應該先把一個奇異的代數簇閉嵌入一個光滑的代數簇, i.e. 設 X hookrightarrow P_k:=P imes_{W}k 是 k -簇的閉嵌入，其中 P 是一個光滑形式 W -概型. 由剛性幾何理論，存在一個特殊化映射 (specializaiton map):

Sp:~P_K:=Potimes_W K o P_k .

定義 X 在 P 中的管狀近傍( tude) 為

]X[_{P}:=Sp^{-1}(X)

這是一個剛性 K -空間，扮演 X 的提升的角色就是它!.

前面考慮的實際上是 X=P_k 的情形. 於是我們定義：

定義2：設 X 是一個 k -簇（可以是奇異的！），X hookrightarrow P_k:=P imes_{W}k 是 k -簇的閉嵌入，其中 P 是一個光滑形式 W -概型. 那麼，定義 X 的剛性上同調為

H_{rig}^{ast}(X):=H_{dR}^{ast}(]X[_{P})

這裡 H_{dR}^{ast}(]X[_{P}) 是指剛性空間 ]X[_{P} 的超收斂德拉姆上同調.

當然需要驗證如下高度不平凡的事實：

這個定義是不依賴 P 的選取以及對 X 具有函子性的.


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