Understanding Blackswan 理解黑天鹅（一）
rara avis in terris nigroque simillima cygno"a rare bird in the lands and very much like a black swan"1973年我们有了最早的标准化期权合同，以及交易所CBOE
并且逐渐衍生出了一套行之有效的做市机制。
最早的期权市场的call 和put的价格是对称相等的。然后就到了1987年的股灾改变了期权交易的生态以及法则。1987现代金融衍生品的公式，对波动率的计算逐渐随著市场的需要逐渐普及。学者们通过binomial二项式还有Newton Method牛顿迭代法还有类似ARCH/GARCH以及经典的BSM 模型计算波动率并且对波动率进行计算。并且建立了现代金融社会衍生品大厦的基石。熟练的套利者（arbitrageur)通过隐含波动率套利，并且提供流动性（liquidity), 而对冲基金Universa LLC的资深顾问，黑天鹅三部曲的作者Nassim Taleb身为一个期权交易员，曾经的义务方期权策略交易员，却说过这么一句话。那就是Its nearly impossible to sell options. 那无疑他的背景和他的言论非常的矛盾。毕竟有许多的期权交易员通过sell straddle, sell strangle 或是sell butterfly/iron condor 去做空波动率。或是bull/bear spread，做点calender 比如说VIX就有类似的均值回归（mean reverting)的特性。等到个股公布财报的时候做多波动率，并且等到行情过去之后做空波动率褥IV的羊毛是期权策略的主流。 为何Nassim Taleb要吐槽绝大部分义务方交易员的套利策略并且毫不留情面呢？我们先来举一个例子，这个例子同样来自于传奇的期权交易员Tom Sosnoff,他创立了全球最易用的期权交易软体Think-or-swim,他本人同时也创建了一个面向零售客户（包括很多做IRA退休账户的）的新型期权券商broker Tastytrade，并且担任CEO。他曾经毫不留情面的吐槽Taleb Nassim 以及他的对冲基金Universa, 他是这么说的：「Actually back then my clients were trying to create a set of trading strategy to hedge their long S&P portfolio, therefore they came to us, the only thing we literally doing was buying S&P put and short ES futures and keep rolling when is needed. That portfolio acts as a blackswan strategy but it went really bad. Clients were losing money on regular basis and kept paying us management fee doing so, after 3 months they close the entire portfolio."这句话的意思就是曾经有客户委托Tom 创建一个黑天鹅策略，由于这个对冲基金在标普有很大的多头仓位于是委托Tom进行对冲，并且支付管理费。Tom 以及他的团队，每天做的事情就是买入标普的认沽期权put以及每日卖出迷你标普期货合约。这个策略每日没有赚钱，还要支付管理费，3个月后他们实在受不了了，因此关闭了整个投资组合。这么来看，Taleb的观点是，义务方策略 (Market Neutral市场中性为主）每天干的事就是赚几百刀几千刀（和position size有关）然后每天坚持做空波动率看上去非常美好，稳定盈利，然后一天归零。Tom的观点是，交易员就应该建立稳定获利的系统，通过寄望小概率黑天鹅事件并且进行交易不现实，绝大部分客户无法忍受持续的稳定回撤。
事实上非常有意思的事情是，两者都非常地专业，同时他们的策略同样有效，也同样有道理，谁都说服不了谁。更有意思的是，1987年Taleb和著名对冲基金经理Tudor Jones都依赖这次股灾财富自由。然后911事件中Taleb也通过卖空股指大赚了一笔。事实上是，我们的眼中，所认为的黑天鹅事件，事实上比人眼所能了解的更加频繁，它符合帕累托准则。帕雷托Pareto分布，也称为幂率power-law分布, 具有渐近尺度不变性，对于性质分析很有帮助，次指数分布Subexponential，服从浩劫原则，对于随机游走（random walking) 等问题的研究很有帮助，长尾分布Long-tailed，服从等待时间爆炸原则，对于极端情形研究很有帮助。让我们来理解什么是厚尾事件，什么又是帕累托准则。下面这张图说明厚尾分布的各种类型Types of heavy-tailed
要理解黑天鹅事件，我们就要从厚尾分布入手，事实上是，厚尾事件（fat-tail events)本身具有许多有趣的特性，而帕雷托准则Pareto principle 同时和马太效应有著异曲同工之妙，那就是: 20%的人拥有社会上80%的财富，方差无限, 甚至均值无限，事实上是，金融世界里，重大事件发生频率较为频繁，而这些时间本身都具备如下3种性质：
1）尺度不变性Scale Invariance定理可证明，一个分布具有尺度不变性当且仅当这个分布是帕累托分布一个分布具有渐近尺度不变性当且仅当这个分布是Regular varying分布2）浩劫原则Catastrophe principle通俗意义上来说，浩劫原则指的是仅需要极少甚至一个意外就可以带来巨大的灾难。浩劫原则是厚尾分布的特性之一。相对而言，轻尾分布则服从阴谋原则，可理解为需要多数样本聚合才能产生一定的效果。3）等待时间爆炸residual life blows up通俗理解，如果你没有很快收到邮件答复，那么你可能永远收不到了~假定你已经等待了x时间，那么剩余等待时间的分布是
residual life distribution如果是一个指数分布
residual life distribution of exponential它仍然是指数分布，也就是说白等了x时间。如果是一个帕雷托分布，那就很可怕了，等待时间会随著已等时间x上升！
residual life distribution of pareto
mean residual life & hazard rate
DHR IMRL什么时候会出现厚尾分布？
考虑独立同分布的随机变数Xi，它们的和如何变化？
方差有限时，随机变数的和服从0均值的正态分布
CLT方差无限时，随机变数的和服从厚尾分布
GCLT
在人类生活中，厚尾分布比正态分布更经常出现累加性过程 Additive Processes,如上述方差无限时- 乘积性过程 Multiplicative Proces
example of multiplicative process在乘积性中心极限法则的作用下，对数正态分布出现
log normal
- 如果在乘积性过程中加入杂讯或者是较低的屏障，幂律分布出现~
power law
- 极值过程 Extremal Process极值过程也会导致厚尾分布的出现，l
extremal process厚尾分布的识别
方案1在双对数坐标系下，幂律分布呈线性
识别不同分布注意使用rank plot(ccdf)而不是简单的frequency plot(pdf)
ccdf VS pdf
指数分布还是幂律分布？通过双对数坐标系下的线性判断幂律分布也有一定风险，因为对数正态、Weibull分布也可能是线性的，而且尾部通常含有更多杂讯，不符合linear regression全局杂讯恒定的假设方案2使用MLE估计alpha
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