Understanding Blackswan 理解黑天鵝（一）
rara avis in terris nigroque simillima cygno"a rare bird in the lands and very much like a black swan"1973年我們有了最早的標準化期權合同，以及交易所CBOE
並且逐漸衍生出了一套行之有效的做市機制。
最早的期權市場的call 和put的價格是對稱相等的。然後就到了1987年的股災改變了期權交易的生態以及法則。1987現代金融衍生品的公式，對波動率的計算逐漸隨著市場的需要逐漸普及。學者們通過binomial二項式還有Newton Method牛頓迭代法還有類似ARCH/GARCH以及經典的BSM 模型計算波動率並且對波動率進行計算。並且建立了現代金融社會衍生品大廈的基石。熟練的套利者（arbitrageur)通過隱含波動率套利，並且提供流動性（liquidity), 而對沖基金Universa LLC的資深顧問，黑天鵝三部曲的作者Nassim Taleb身為一個期權交易員，曾經的義務方期權策略交易員，卻說過這麼一句話。那就是Its nearly impossible to sell options. 那無疑他的背景和他的言論非常的矛盾。畢竟有許多的期權交易員通過sell straddle, sell strangle 或是sell butterfly/iron condor 去做空波動率。或是bull/bear spread，做點calender 比如說VIX就有類似的均值回歸（mean reverting)的特性。等到個股公佈財報的時候做多波動率，並且等到行情過去之後做空波動率褥IV的羊毛是期權策略的主流。 為何Nassim Taleb要吐槽絕大部分義務方交易員的套利策略並且毫不留情面呢？我們先來舉一個例子，這個例子同樣來自於傳奇的期權交易員Tom Sosnoff,他創立了全球最易用的期權交易軟體Think-or-swim,他本人同時也創建了一個面向零售客戶（包括很多做IRA退休賬戶的）的新型期權券商broker Tastytrade，並且擔任CEO。他曾經毫不留情面的吐槽Taleb Nassim 以及他的對沖基金Universa, 他是這麼說的：「Actually back then my clients were trying to create a set of trading strategy to hedge their long S&P portfolio, therefore they came to us, the only thing we literally doing was buying S&P put and short ES futures and keep rolling when is needed. That portfolio acts as a blackswan strategy but it went really bad. Clients were losing money on regular basis and kept paying us management fee doing so, after 3 months they close the entire portfolio."這句話的意思就是曾經有客戶委託Tom 創建一個黑天鵝策略，由於這個對沖基金在標普有很大的多頭倉位於是委託Tom進行對沖，並且支付管理費。Tom 以及他的團隊，每天做的事情就是買入標普的認沽期權put以及每日賣出迷你標普期貨合約。這個策略每日沒有賺錢，還要支付管理費，3個月後他們實在受不了了，因此關閉了整個投資組合。這麼來看，Taleb的觀點是，義務方策略 (Market Neutral市場中性為主）每天乾的事就是賺幾百刀幾千刀（和position size有關）然後每天堅持做空波動率看上去非常美好，穩定盈利，然後一天歸零。Tom的觀點是，交易員就應該建立穩定獲利的系統，通過寄望小概率黑天鵝事件並且進行交易不現實，絕大部分客戶無法忍受持續的穩定回撤。
事實上非常有意思的事情是，兩者都非常地專業，同時他們的策略同樣有效，也同樣有道理，誰都說服不了誰。更有意思的是，1987年Taleb和著名對沖基金經理Tudor Jones都依賴這次股災財富自由。然後911事件中Taleb也通過賣空股指大賺了一筆。事實上是，我們的眼中，所認為的黑天鵝事件，事實上比人眼所能瞭解的更加頻繁，它符合帕累託準則。帕雷託Pareto分佈，也稱為冪率power-law分佈, 具有漸近尺度不變性，對於性質分析很有幫助，次指數分佈Subexponential，服從浩劫原則，對於隨機遊走（random walking) 等問題的研究很有幫助，長尾分佈Long-tailed，服從等待時間爆炸原則，對於極端情形研究很有幫助。讓我們來理解什麼是厚尾事件，什麼又是帕累託準則。下面這張圖說明厚尾分佈的各種類型Types of heavy-tailed
要理解黑天鵝事件，我們就要從厚尾分佈入手，事實上是，厚尾事件（fat-tail events)本身具有許多有趣的特性，而帕雷託準則Pareto principle 同時和馬太效應有著異曲同工之妙，那就是: 20%的人擁有社會上80%的財富，方差無限, 甚至均值無限，事實上是，金融世界裡，重大事件發生頻率較為頻繁，而這些時間本身都具備如下3種性質：
1）尺度不變性Scale Invariance定理可證明，一個分佈具有尺度不變性當且僅當這個分佈是帕累託分佈一個分佈具有漸近尺度不變性當且僅當這個分佈是Regular varying分佈2）浩劫原則Catastrophe principle通俗意義上來說，浩劫原則指的是僅需要極少甚至一個意外就可以帶來巨大的災難。浩劫原則是厚尾分佈的特性之一。相對而言，輕尾分佈則服從陰謀原則，可理解為需要多數樣本聚合才能產生一定的效果。3）等待時間爆炸residual life blows up通俗理解，如果你沒有很快收到郵件答覆，那麼你可能永遠收不到了~假定你已經等待了x時間，那麼剩餘等待時間的分佈是
residual life distribution如果是一個指數分佈
residual life distribution of exponential它仍然是指數分佈，也就是說白等了x時間。如果是一個帕雷託分佈，那就很可怕了，等待時間會隨著已等時間x上升！
residual life distribution of pareto
mean residual life & hazard rate
DHR IMRL什麼時候會出現厚尾分佈？
考慮獨立同分布的隨機變數Xi，它們的和如何變化？
方差有限時，隨機變數的和服從0均值的正態分佈
CLT方差無限時，隨機變數的和服從厚尾分佈
GCLT
在人類生活中，厚尾分佈比正態分佈更經常出現累加性過程 Additive Processes,如上述方差無限時- 乘積性過程 Multiplicative Proces
example of multiplicative process在乘積性中心極限法則的作用下，對數正態分佈出現
log normal
- 如果在乘積性過程中加入雜訊或者是較低的屏障，冪律分佈出現~
power law
- 極值過程 Extremal Process極值過程也會導致厚尾分佈的出現，l
extremal process厚尾分佈的識別
方案1在雙對數坐標系下，冪律分佈呈線性
識別不同分佈注意使用rank plot(ccdf)而不是簡單的frequency plot(pdf)
ccdf VS pdf
指數分佈還是冪律分佈？通過雙對數坐標系下的線性判斷冪律分佈也有一定風險，因為對數正態、Weibull分佈也可能是線性的，而且尾部通常含有更多雜訊，不符合linear regression全局雜訊恆定的假設方案2使用MLE估計alpha
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