CPT理论

分散式能源的间歇性、波动性等特性对功率理论和补偿技术造成了全新的挑战。当微网运行在孤岛模式时，其幅值和频率波动会降低系统电能质量与稳定性。由于微电网容量有限，电压畸变后果更加严重。因此，需要对功率理论重新审视。对谐波与无功补偿设备的控制技术也需要修正，因为在极强的交互环境中，它们需要协同以应对系统动态变化，保证系统电能质量，减少输电损耗。

2003年Paolo Tenti 和 Paolo Mattavelli 首次提出CPT（Conservative Power Theory）理论。

之后一直对该理论进行改进，在2011年，提出了基于CPT理论的微网描述和控制问题的框架。

CPT理论的一个大前提是：波形是周期的。因此它无法描述时变负载的情形。

运算元

为了表达方便，先定义一些运算元（周期为T，频率为 ,角频率为）：

平均值： $ar{x}=<x>=frac{1}{T}int_{0}^{T}xdt$ 微分： $reve{x}=frac{dx}{dt}$ 积分： $x_{int}=int_{0}^{t}x( au)d au$

无偏积分： $hat{x}=x_{int}-ar{x}_{int}$ 内积： $<x,y>=frac{1}{T}int_{0}^{T}xydt$ 2范数(均方根)：

正交性：

对于N维向量 ,定义如下运算元：

标量积： $underline{x}circunderline{y}=sum_{n=1}^{N}x_{n}y_{n}$ 内积： $<underline{x},underline{y}>=sum_{n=1}^{N}<x_{n},y_{n}>$

2范数： $mathbf{X}=|underline{x}|=sqrt{sum_{n=1}^{N}<x_{n},x_{n}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}X_{n}^{2}}$

上述量有如下性质：

$egin{gather} <x,reve{x}>=0qquad<x,hat{x}>=0\ <x,reve{y}>=-<reve{x},y>qquad<x,hat{y}>=-<hat{x},y>\ <x,y>=-<reve{x},hat{y}>=-<hat{x},reve{y}> end{gather}$

正文

考虑一个多相系统，电压向量，电流向量分别为： ,电压的无偏积分为： .

定义如下守恒量：

瞬时功率：瞬时无功能量：

有功功率：无功能量：

上述定义只要求周期性，对电压电流的波形没有要求。上述计算在时域中进行，只需要积分和低通滤波即可。

将上述公式，应用到简单的无源网路中，有：

电阻R: $u_{R}=Ri_{R}qquad P_{R}=frac{U_{R}^{2}}{R}qquad W_{R}=0$

电感L: $u_{L}=Lreve{i}_{L}qquad P_{L}=0qquad W_{L}=Li_{L}^{2}=frac{1}{2}ar{varepsilon}_{L}$

电容C： $i_{C}=Creve{u}_{C}qquad P_{C}=0qquad W_{C}=-CU_{C}^{2}=-frac{1}{2}ar{varepsilon}_{C}$

因此，与电压电流波形无关，电阻只消耗有功功率，电感电容吸收的无功能量与储存的能量成正比。

与其他功率理论一样，不守恒的视在功率定义如下：

视在功率：功率因数： $lambda=frac{|P|}{A}$

其中， $mathbf{U}=sqrt{<underline{u},underline{u}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}U_{n}^{2}}qquad mathbf{I}=sqrt{<underline{i},underline{i}>}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{n}^{2}}$

为了详细分析与有功、无功相关的电流分量，可相电流 $i_{n}$ 进行分解如下：

n相有功电流：

$egin{equation} egin{split} i_{an}&=frac{<u_{n},i_{n}>}{|u_{n}|^{2}}u_{n}=frac{P_{n}}{U_{n}^{2}}u_{n}=G_{n}u_{n}qquad n=1,2,...,N \ &Rightarrow mathbf{I}_{a}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{an}^{2}}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}} end{split} end{equation}$

其中 $G_{n}=frac{P_{n}}{U_{n}^{2}}$ 为等效电导。

n相无功电流：

$egin{equation} egin{split} i_{rn}&=frac{<hat{u}_{n},i_{n}>}{|hat{u}_{n}|^{2}}hat{u}_{n}=frac{W_{n}}{hat{U}_{n}^{2}}hat{u}_{n}=B_{n}hat{u}_{n}qquad n=1,2,...,N \ &Rightarrow mathbf{I}_{r}=sqrt{sum_{n=1}^{N}I_{rn}^{2}}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{W_{n}}{hat{U}_{n}})^{2}} end{split} end{equation}$

其中 $B_{n}=frac{W_{n}}{hat{U}_{n}^{2}}$ 为等效电纳。

n相无效电流

$i_{vn}=i_{n}-i_{an}-i_{rn}quad n=1,2,...,N$

这三个电流是互相正交的：

$I_{n}=sqrt{I_{an}^{2}+I_{rn}^{2}+I_{vn}^{2}}Rightarrowmathbf{I}=sqrt{mathbf{I}_{a}^{2}+mathbf{I}_{r}^{2}+mathbf{I}_{v}^{2}}$

针对供电电源非正弦，负荷不对称情况，可将电流分解如下：

对称有功电流：

$underline{i}_{a}^{b}=frac{<underline{u},underline{i}>}{|underline{u}|^{2}}underline{u} =frac{P}{mathbf{U}^{2}}underline{u}=G^{b}underline{u}Rightarrowmathbf{I}_{a}^{b}=frac{P}{mathbf{U}}$ ,

其中， $G^{b}=P/mathbf{U}^{2}$ 为等效对称电导。

对称无功电流：

$underline{i}_{r}^{b}=frac{<underline{hat{u}},underline{i}>}{|underline{hat{u}}|^{2}}underline{hat{u}} =frac{W}{mathbf{hat{U}}^{2}}underline{hat{u}}=B^{b}underline{hat{u}}Rightarrowmathbf{I}_{r}^{b}=frac{W}{mathbf{hat{U}}}$ ,其中， $B^{b}=W/mathbf{hat{U}}^{2}$ 为等效对称电导。

不对称有功电流：

$egin{equation} egin{split} i_{an}^{u}&=(G_{n}-G^{b})u_{n}qquad n=1,2,...,N\ &Rightarrow mathbf{I}_{a}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{P_{n}}{U_{n}})^{2}-(frac{P}{mathbf{U}})^{2}} end{split} end{equation}$

对称有功电流和不对称有功电流互相正交：

$<underline{i}_{a}^{u},underline{i}_{a}^{b}>=0Rightarrowmathbf{I}_{a}^{u} =sqrt{mathbf{I}_{a}^{2}-(mathbf{I}_{a}^{b})^{2}}$

不对称无功电流：

$egin{equation} egin{split} i_{rn}^{u}&=(B_{n}-B^{b})hat{u}_{n}qquad n=1,2,...,N\ &Rightarrow mathbf{I}_{r}^{u}=sqrt{sum_{n=1}^{N}(frac{W_{n}}{hat{U}_{n}})^{2}-(frac{W}{mathbf{hat{U}}})^{2}} end{split} end{equation}$