積分筆記 3 含三角函數的積分技巧

設是一個有理函數。

的積分

這類積分是簡單的，只需用到 $sin x=frac{2 anfrac x2}{1+ an^2frac x2}=frac{2t}{1+t^2}$ 和 $cos x=frac{1-t^2}{1+t^2}$ ，這時 $mathrm dx=frac{2mathrm dt}{1+t^2}$ 。

我們其實有更簡單的替換方法，可以證明，如果

，那麼
，那麼

其中2可以由1應用於 $frac{R(u,v)}{u}$ 推出。

假設當變號時，變號那麼可以這樣換元

假設當同時變號時，的值不變那麼可以這樣換元

因為 $R(u,v)=R(frac uvv,v)=R^*(frac uv,v)$ 對於符合上一種情況於是

$R^*(frac uv,v)=R^*(frac uv,-v)=R^*_1(frac uv,v^2)$ 這時 $R(sin x,cos x)=R^*_1( an x,cos^2 x)=R( an x,frac{1}{1+ an^2x})$ 。

由於任意一個有理函數都可以分解成上述三種之和，所以這三種變換是足夠的。

$R(u,v)=frac{R(u,v)-R(-u,v)}{2}+frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}+frac{R(-u,-v)+R(u,v)}{2}$

的積分

做變換，這樣 $egin{align} int &sin^ u xcos^mu x mathrm dx\ =int &sin^{ u-1}x(1-sin^2x)^{frac{mu-1}{2}}2sin xcos xmathrm dx\ =int &(1-z)^{frac{mu-1}{2}}z^{frac{ u-1}{2}}mathrm dz end{align}$ ，問題就轉化成了我們解決過的二項式積分（在這篇筆記裏有記錄）。

如果都是偶數，最好的方法是使用 $sin xcos x=frac {sin 2x}{2},sin^2x=frac{1-cos2x}{2},cos^2x=frac{1+cos 2x}{2}$ 。

而利用二項積分，我們也可以得到這類積分的遞推式。

$int sin ^ u x cos^mu xmathrm dx =-frac{sin^{ u+1}x cos^{mu+1}x} {mu+1} +frac{ u +mu+2} {mu+1}int sin ^{ u}cos^{mu+2}xmathrm dx\ int sin ^ u x cos^mu xmathrm dx =frac{sin^{ u+1}x cos^{mu+1}x} { u+1} +frac{ u +mu+2} { u+1}int sin ^{ u+2}cos^{mu}xmathrm dx\ int sin ^ u x cos^mu xmathrm dx =frac{sin^{ u+1}x cos^{mu-1}x} {mu+ u} +frac{ mu-1} {mu+ u}int sin ^{ u}cos^{mu-2}xmathrm dx\ int sin ^ u x cos^mu xmathrm dx =-frac{sin^{ u-1}x cos^{mu+1}x} {mu+ u} +frac{ u -1} {mu+ u}int sin ^{ u-2}cos^{mu}xmathrm dx$