1.5 量子資訊理論

相對於經典計算機學科中的資訊理論，本節介紹相對應的量子資訊理論，不過，量子資訊理論目前還沒有嚴格的劃分，所以界限有點模糊，內容比較雜亂，但是，我們可以劃分幾個量子資訊理論的基本目標。

1.區別量子力學的基本靜態資源類別，比如qubit，經典計算機中的bit也是，它在量子計算機中扮演著特殊的地位，此外，還有Bell state。

2.區別量子力學的基本動態過程類別，比如內存，即存儲qubit的能力，抗雜訊的過程，數據傳輸等。

3.量化實現動態過程對靜態資源的權衡，比如，在雜訊中實現量子信息的可靠傳輸最少需要多少資源。

經典資訊理論中也有相似的目標，當然，量子資訊理論不止這些，它比資訊理論有更廣的範圍和更多的問題需要解決。

（感覺糾結了半天如何說準確，但感覺還是不太好，並且...好像沒啥用...）

下面講解一下量子資訊理論的一些例子。

通過量子信道傳輸經典信息（比特）

信息源：我們不太嚴謹的描述下，信息源是一堆字元串，裡面的每個字母出現的概率為，其中，為第個字母出現的概率，我們假設它們相互獨立。我們藉此定義香農熵：，代表了需要描述的比特的個數多少（不是具體的），代表了信息中的信息量，更多的見12章。

上面的香農的無雜訊編碼理論為我們提供了一個很好的解決基本目標的方案，比特和信息源解決了目標1，壓縮信息源和解壓縮覆蓋了目標2，最優的數據壓縮方式決定了目標3.

香農的第二個主要工作就是有雜訊編碼理論，在有雜訊的信道中，我們通過在信息中添加足夠多餘的信息，從而能夠在收到的信息出錯的情況下，恢復原始數據，由此我們能設定一個定義信道容量，信道容量是傳輸的比特中，包含信息的比特所佔百分比，比如如果兩個比特中，一個是糾錯的，一個是信息，那麼就是50%。

有雜訊編碼理論也實現了三個代表，啊不，三個目標，信息源和比特實現目標1，編碼，解碼，糾錯實現了目標2，信道容量可以表現多少的信息的傳輸才能保證信息的可靠傳輸實現了目標3。

無論無雜訊還是有雜訊，我們都需要把輸出的信息存到經典的信息系統，也就是比特（或者其他），如果我們換成qubit，我們可以做到更節約的方式傳送信息，詳見原書12章。

量子信道下單量子信息

和資訊理論類似，我們通過下面的方法描述信息源：我們有的概率傳送狀態的qubit，並且概率是獨立分布的。

現在，我們假設信息源只會發送兩種qubit，那麼我們可以和經典資訊理論中的香農熵一樣定義信息熵，並進行一些信息上數據的分析。不過，如果，我們把換成呢？收到qubit後我們無法分辨這兩種qubit，那我們能否通過這種方式傳遞信息呢？

在回答這個問題前，我們先說一下量子信道，Schumacher提出一個量子的無雜訊的編碼理論，並且這個理論中，我們可以實現比香農理論需要的更少的qubit去實現數據的壓縮傳輸，類似香農熵，這個結果叫做von Neumann熵（我叫它紐曼熵吧...），當且僅當正交的情況下，紐曼熵和香農熵相等，其他情況下都會少於香農熵，所以說，需要更少的qubit來傳輸相同的信息。

假設，我們有的概率輸出，的概率輸出，然後信息源輸出n個qubit，當n很大，足夠大時，我們可以得到下面的形式：

$|0 angle^{otimes np}(frac{|0 angle+|1 angle}{sqrt{2}})^{otimes n(1-p)} =|0 angle^{otimes np}|0 angle^{otimes n(1-p)/2}|1 angle^{otimes n(1-p)/2} =|0 angle^{otimes n(1+p)/2}|1 angle^{otimes n(1-p)/2}$

有多少個上式的狀態？Striling估計是 $Nequiv2^{nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ ，我們把這些狀態標號從到，我們可以作用一個酉矩陣變換，把轉換成 $|j angle|0 angle^{otimes n-nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ ，其中是一個 bit位的數字，捨去後面的 qubit，我們得到了壓縮的狀態，解壓的話，只需要把後面的 $|0 angle^{n-nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ 補上即可，因此我們需要的存儲的位數也變少，為，更多詳細的內容和進一步的探討，見原書12章。