1.5 量子资讯理论

相对于经典计算机学科中的资讯理论，本节介绍相对应的量子资讯理论，不过，量子资讯理论目前还没有严格的划分，所以界限有点模糊，内容比较杂乱，但是，我们可以划分几个量子资讯理论的基本目标。

1.区别量子力学的基本静态资源类别，比如qubit，经典计算机中的bit也是，它在量子计算机中扮演著特殊的地位，此外，还有Bell state。

2.区别量子力学的基本动态过程类别，比如内存，即存储qubit的能力，抗杂讯的过程，数据传输等。

3.量化实现动态过程对静态资源的权衡，比如，在杂讯中实现量子信息的可靠传输最少需要多少资源。

经典资讯理论中也有相似的目标，当然，量子资讯理论不止这些，它比资讯理论有更广的范围和更多的问题需要解决。

（感觉纠结了半天如何说准确，但感觉还是不太好，并且...好像没啥用...）

下面讲解一下量子资讯理论的一些例子。

通过量子信道传输经典信息（比特）

信息源：我们不太严谨的描述下，信息源是一堆字元串，里面的每个字母出现的概率为，其中，为第个字母出现的概率，我们假设它们相互独立。我们借此定义香农熵：，代表了需要描述的比特的个数多少（不是具体的），代表了信息中的信息量，更多的见12章。

上面的香农的无杂讯编码理论为我们提供了一个很好的解决基本目标的方案，比特和信息源解决了目标1，压缩信息源和解压缩覆盖了目标2，最优的数据压缩方式决定了目标3.

香农的第二个主要工作就是有杂讯编码理论，在有杂讯的信道中，我们通过在信息中添加足够多余的信息，从而能够在收到的信息出错的情况下，恢复原始数据，由此我们能设定一个定义信道容量，信道容量是传输的比特中，包含信息的比特所占百分比，比如如果两个比特中，一个是纠错的，一个是信息，那么就是50%。

有杂讯编码理论也实现了三个代表，啊不，三个目标，信息源和比特实现目标1，编码，解码，纠错实现了目标2，信道容量可以表现多少的信息的传输才能保证信息的可靠传输实现了目标3。

无论无杂讯还是有杂讯，我们都需要把输出的信息存到经典的信息系统，也就是比特（或者其他），如果我们换成qubit，我们可以做到更节约的方式传送信息，详见原书12章。

量子信道下单量子信息

和资讯理论类似，我们通过下面的方法描述信息源：我们有的概率传送状态的qubit，并且概率是独立分布的。

现在，我们假设信息源只会发送两种qubit，那么我们可以和经典资讯理论中的香农熵一样定义信息熵，并进行一些信息上数据的分析。不过，如果，我们把换成呢？收到qubit后我们无法分辨这两种qubit，那我们能否通过这种方式传递信息呢？

在回答这个问题前，我们先说一下量子信道，Schumacher提出一个量子的无杂讯的编码理论，并且这个理论中，我们可以实现比香农理论需要的更少的qubit去实现数据的压缩传输，类似香农熵，这个结果叫做von Neumann熵（我叫它纽曼熵吧...），当且仅当正交的情况下，纽曼熵和香农熵相等，其他情况下都会少于香农熵，所以说，需要更少的qubit来传输相同的信息。

假设，我们有的概率输出，的概率输出，然后信息源输出n个qubit，当n很大，足够大时，我们可以得到下面的形式：

$|0 angle^{otimes np}(frac{|0 angle+|1 angle}{sqrt{2}})^{otimes n(1-p)} =|0 angle^{otimes np}|0 angle^{otimes n(1-p)/2}|1 angle^{otimes n(1-p)/2} =|0 angle^{otimes n(1+p)/2}|1 angle^{otimes n(1-p)/2}$

有多少个上式的状态？Striling估计是 $Nequiv2^{nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ ，我们把这些状态标号从到，我们可以作用一个酉矩阵变换，把转换成 $|j angle|0 angle^{otimes n-nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ ，其中是一个 bit位的数字，舍去后面的 qubit，我们得到了压缩的状态，解压的话，只需要把后面的 $|0 angle^{n-nH[(1+p)/2,(1-p)/2]}$ 补上即可，因此我们需要的存储的位数也变少，为，更多详细的内容和进一步的探讨，见原书12章。