機器學習上帝是否擲骰子

《圍城》里有句名言：圍在城裡的人想逃出來，城外的人想衝進去，對婚姻也罷，職業也罷，人生的願望大都如此。每個人可能都後悔過，後悔當初沒有走另一條路！但誰知道有沒有另一個世界，另一個自己，做出了那個選擇，卻又在暗中有著同樣的遺憾。

微觀世界的臣民，那些量子世界的粒子，在人生的關鍵時刻，是否也面臨著抉擇呢？比如一個介子，它能衰變成一對正負電子。為了角動量守恆，正負電子必須滿足一個自旋向上，一個自旋向下。但究竟是正電子自旋向上負電子自旋向下，簡稱正上負下，還是反過來正下負上呢？

如果正負電子有意識，都想當自旋向上的那個，一定會爭吵起來。如果微觀世界有上帝，替他們擲骰子，骰子正面數字為，是一三五選，二四六選，那就公平了。這其實是量子力學的隱變數詮釋，骰子的取值是隱變數，最終的量子態究竟是，還是，完全由隱變數的抽樣值決定。如果用概率表達，即，

$p(a, b) = sum_{lambda} p(a | lambda) p(b | lambda) p(lambda)$

其中是隱變數，即上帝擲的骰子， a 和 b 是由骰子數字決定的各種可能自旋排布，如果用 1 表示自旋向上，-1 表示自旋向下，那麼 (a, b) 取值有四種組合，(1, 1), (1, -1), (-1, 1) 和 (-1, -1)。很明顯，

, 而 $p(1, -1) = p(-1, 1) = frac{1}{2}$

即雖然不知道誰上誰下，但概率之和是 1，且兩個測量之間存在關聯，滿足角動量守恆 a + b = 0. 這種關聯被稱為局域關聯，一切在開始已經註定。這種詮釋被稱為局域隱變數詮釋，英文縮寫 LHA。

上帝很懶，不願意每次擲骰子做決定。於是大手一揮，量子力學橫空出世，出現了一個新概念，疊加態。比如薛定諤的貓，是一種既死又活的狀態。雖然聽上去很怪異，但如果有兩個世界，在一個世界裡，貓已死，在另一世界裡，貓尚活，那關於這隻貓的整個宇宙波函數，就是兩種狀態的疊加態，

$|薛定諤的貓 angle = frac{1}{sqrt{2}}left(|死貓 angle + |活貓 angle ight)$

愛因斯坦是最反對量子論的人，為了駁倒量子論，構思了一個巧妙的思想實驗，此思想實驗被叫做 EPR 佯謬，其中那個 E 就是愛因斯坦的縮寫。愛因斯坦說，既然量子論里有疊加態，那介子衰變產生的正負電子對也可以處於疊加態，上帝不用擲骰子去決定究竟誰上誰下了！

$|Psi angle = frac{1}{sqrt{2}}left( |+ angle_uparrow |- angle_downarrow + |+ angle_downarrow |- angle_uparrow ight)$

其中是正負電子對整體的波函數。就算這對正負電子背對背走到無窮遠，他們的整體波函數還是量子疊加狀態，這樣的性質被稱作量子糾纏。愛因斯坦壞笑著說，現在你測一下正電子，如果測到了自旋向上，剎那間，你就知道無窮遠地方的負電子自旋向下。如果這時候對負電子做測量，自旋必然向下。但是，無窮遠地方的負電子明明處於疊加態，既可能自旋向上，也可能自旋向下，它如何剎那間得知正電子的測量結果，並且塌縮到自旋向下？就算正電子作弊，將自己的測量結果發給負電子，但信號以光速傳播，無窮遠的距離，信號也要走無窮久。所以，正負電子之間的糾纏，就像兩者之間擁有鬼魅般的超距相互作用。

按照隱變數原理，一切早已在上帝擲骰子的時候註定，測量到正電子自旋向上，立馬知道負電子自旋向下，沒有任何的邏輯問題。

按照量子糾纏，一切在測量的時候才決定下來。這個非定域的波函數，在測量的剎那，就從糾纏的宇宙塌縮到了一個世界，要麼，要麼。

你可能立刻發現，無論是隱變數原理，還是量子力學，測量的結果都是要麼正上負下，要麼正下負上。那如何才能通過測量，確定微觀量子世界究竟是隱變數起主導，還是量子糾纏起主導。換句話說，根據測量結果，能不能判斷正負電子之間的關聯是經典關聯還是量子關聯？

愛因斯坦等人為了駁倒量子論，提出的EPR 佯謬引起 Bell 的極大興趣。他苦思冥想，如何才能通過測量到的正負電子自旋，來區分局域隱變數和量子糾纏態呢？終於有一天，他想到既然局域關聯和量子糾纏都是一種關聯，那我能不能定義一個關聯函數，測量這個關聯函數的期望值，來區分局域關聯和量子關聯（即鬼魅般的超距相互作用，又稱量子糾纏）呢？於是他開始嘗試各種關聯函數的定義。先看一看統計力學裡我們如何計算關聯函數，

其中表示期望值，即多次測量的平均值，表示的漲落。這個公式的意思就是說，如果每次測量中，和的漲落都同時為正，或同時為負，則兩者之間有很強的正關聯。如果兩者總是一正一負，則兩者之間有很強的負關聯。多次測量平均之後，就能知道和的關聯究竟有多強。

回到正負電子對，無論是正電子，還是負電子，他們自旋向上和自旋向下的幾率都是 50%，所以上面的關聯公式中，單邊測量的期望值為0，即。關聯函數簡化為，

這種簡單的關聯函數，只能說明 a + b = 0, 即正負電子之間有很強的負關聯。但不能告知，這個負關聯究竟來自局域隱變數，還是來自量子糾纏。

Bell 想，一個關聯函數不夠，我可以對正電子做兩次測量，對負電子做兩次測量，定義更複雜的關聯函數的函數。這個想法是成功的，並開啟了Bell不等式的潘多拉盒子，從此人們可以用實驗來證明量子疊加態，糾纏態是真實存在的了。

這裡只介紹一種理解起來最簡單的 Bell-CHSH 不等式，定義兩次獨立測量的關聯函數是，

在經典關聯，使用局域隱變數概率公式，計算得到的

上面這個不等式稱作 Bell 不等式。在量子糾纏下，計算同樣的關聯函數，得到期望值

具體計算方法在此略過，可查閱書本或維基百科。Bell 第一次提出了一種實驗，通過測量兩個粒子之間的關聯，區分量子關聯和經典關聯。對 Bell 不等式的違背也說明一個問題，即來自糾纏的量子關聯比經典關聯更強，。愛神為了反駁量子論而提出的EPR佯謬，終究成為量子論的最強有力證據。

墨子號量子衛星的一個重要任務就是構造遠距離糾纏的量子態，驗證 Bell 不等式。這裡的「遠距離」指兩個粒子要被發送到距離差大於兩邊測量的時間差乘以光速，使得兩邊的測量不存在因果。

下面正式開始介紹一篇文章，《 Machine Learning Nonlocal Correlations 》，這篇文章發表於 PRL，標題翻譯過來是《機器學習非定域關聯》，或者通俗點，機器學習量子糾纏，機器學習上帝是否擲骰子等等。文章鏈接如下，

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.122.200401?

journals.aps.org

這篇文章講的是如何使用機器學習，構造類似Bell不等式的關聯函數，判斷粒子間存在的究竟是量子關聯（糾纏），還是經典關聯。為何要用機器學習呢？這篇文章給出的理由是 Bell 不等式太難構造了，僅僅是兩個量子比特，Bell不等式的證明就要費點精力。在高維情況下（比如多個粒子），任何給定的不等式都只能提供非常有限的局域信息。這篇文章構造多個多層全連接神經網路，使用系綜方法，量化非定域關聯。文章摘要里聲稱，機器學習模型尋找到了一些新的能夠區分經典關聯和複雜量子關聯的不等式。

這是一個監督學習研究，目標是預測一個非定域性的量化函數，定義為