MP14：Lagrange力學

來自專欄數學物理私塾課5 人贊了文章

通過前面幾講，我們打下了一些微分幾何的基礎。接下來的幾講中，我們用分析力學作為例子來鞏固微分幾何的知識。我們會多講一些物理，多談談應用。以下將詳細地推導微分流形上的分析力學，不要求讀者有理論力學的基礎。如果讀者對非微分流形的分析力學略有了解，可以對比一下我們所講的側重不同。

廣義坐標與廣義速度

我們只討論個有限自由度的力學系統。既然是自由度，相互之間就是獨立變數，故可以用線性空間 $M sim mathbb{R}^n$ 作為基礎的坐標空間，稱為位形空間（configuration space），其中的向量 ${q_i} in M$ 稱為廣義坐標（generalized coordinates）。

這裡需要注意，空間中無約束的單質點系統的自由度為，那麼個這樣的質點構成的系統的自由度為。然而由於約束的存在，實際的系統自由度可能是任何可能的正整數值。

在給定時刻，廣義坐標 $q={q_i} in M$ 給出了系統的位置。同時需要考慮廣義速度（generalized velocity）：

$dot{q} = frac{dq}{dt} = Big{ frac{dq_i}{dt} Big}$

廣義坐標和廣義速度構成一個向量 $(q,p) in TM sim mathbb{R}^{2n}$ ，它描述了系統的狀態，這個向量所在的空間稱為位形空間（state space），它與 $mathbb{R}^{2n}$ 相似。回憶上一講，位形空間是一個切叢。

最小作用量原理

光滑流形的切叢上定義的實值函數全體記為

Lagrange量（Lagrangian，拉式量） 是其中一類函數：

其中 ${q_i}$ 為局部坐標系。作用量(action)定義為

$S(L)=int_{t_0}^{t_1}L(q,dot{q},t)dt$

這是拉式量在時間段上的定積分。它也可以視為泛函(functional)，其作用相當於把函數映射到域的運算元

在中，能描述力學系統真實運動的拉式量需要滿足Hamilton最小作用量原理(Hamiltons principle of least action)，

以及邊界條件。

這裡使用的符號類似於微分，為了突出是函數本身（作為函數空間中的元素）的變化而不是自變數（作為函數的映射源）的變化，叫做變分(variation)。所謂函數本身的變化，理解為函數作為一個映射的映射方式在變化，這種變化無關自變數和定義域。

變分法是數學的一個分支，我們暫不詳談，具體可參考Hilbert和Courant著名的大部頭的數學物理方法。變分法的推導涉及函數空間上的度量拓撲，以後在泛函分析相關的講義中還會詳談。

Euler-Lagrange方程

前面給出了一個原則：能描述力學系統真實運動的拉式量需要滿足Hamilton最小作用量原理，它是物理定律，不需要被證明。後面我們會發現這一原則與Newton運動定律是等效的。（Hamilton最小）作用量原理表達為變分的形式，這在數學上是難以處理的。下面我們給出原理的等效的Euler-Lagrange方程形式，它是一個更簡潔的微分方程形式。

注意：我們是在切叢討論問題，需要拋開陳見。坐標 ${q_i}$ 就是坐標，速度 ${dot{q}_i}$ 就是速度，雖然二者有時間聯繫，但在切叢中是兩個獨立變數。

推導主要靠分部積分法，在Arnold的經典力學的數學原理中有詳細過程。

當最小作用量原理滿足時：

$int_{t_0}^{t_1}Big[L(q+delta q,dot{q}+delta dot{q},t)-L(q,dot{q},t)Big]dt=0$

$int_{t_0}^{t_1}Big[delta qfrac{partial L}{partial q}+delta dot{q}frac{partial L}{partial dot{q}}Big]dt=0$

這種情況僅當以下條件滿足時成立：

$K=K_1+K_2=delta qfrac{partial L}{partial q}+delta dot{q}frac{partial L}{partial dot{q}}=0$

既然

$delta dot{q}=deltafrac{dq}{dt}=frac{ddelta q}{dt}$

則

$K_2=delta dot{q}frac{partial L}{partial dot{q}}=frac{ddelta q}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}$

然後

$int K_2dt=int frac{ddelta q}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}dt=int frac{partial L}{partial dot{q}}ddelta q$

$=frac{partial L}{partial dot{q}}delta q-int delta qdfrac{partial L}{partial dot{q}}$

$=frac{partial L}{partial dot{q}}delta q-int delta qfrac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}dt$

因而

$int_{t_0}^{t_1} K_2dt=Big[frac{partial L}{partial dot{q}}delta qBig]_{t0}^{t1}-int_{t0}^{t1} delta qfrac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}dt$

根據邊界條件，第一項消去

$int_{t_0}^{t_1} K_2dt=-int_{t0}^{t1} delta qfrac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}dt$

且

$int_{t_0}^{t_1}Big[delta qfrac{partial L}{partial q}+delta dot{q}frac{partial L}{partial dot{q}}Big]dt$

$=int_{t_0}^{t_1}delta qfrac{partial L}{partial q}dt-int_{t0}^{t1} delta qfrac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}dt$

$=int_{t_0}^{t_1}Big[delta qfrac{partial L}{partial q}-delta qfrac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}Big]dt$

$=int_{t_0}^{t_1}delta qBig[frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}Big]dt$

它僅當

$frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}=0$

時成立，這個條件稱為Euler-Lagrangian方程或E-L方程。

看到這裡可能眼花了，沒事。記得最小作用量原理是從天而降的，沒有比它更本質的道理。光在介質中的路徑，作為一個廣義坐標的軌跡，也是要滿足最小作用量原理的。最小作用量原理所以正確，是因為根據這個原理推出來的Euler-Lagrange方程，在自然坐標中和Newton運動定律等效。剛才我們討論的切叢、作用量、E-L方程統稱Lagrange力學。