題目的來源是第6屆學數學邀請賽的第6題。

我這裡寫2種自己原創的解法，不過不知道會不會雷同或者有更好的方法，如果有的話歡迎在文章下方留言分享！

好吧，我還是先把官方標答貼一下吧：

第1種解法當然是常見的配方法了，這個大家都會的了，我就把過程去掉了。

frac{b}{c+a}+frac{c}{b+a}+frac{9a}{b+c}+frac{16bc}{b+c}-6=

frac{[(b-c)^2-3a(b+c)]^2}{(a+b)(a+c)(b+c)^2}+frac{a(b+c-3a)^2 }{(a+b)(a+c)(b+c)}+frac{abc(16a+b+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)^2}geq0

當然了，配方的結果不止一種，我在貼吧也看到了其他的配法：

第六屆「學數學」數學奧林匹克邀請賽（春季賽）【數學競賽吧】_百度貼吧?

tieba.baidu.com圖標

圖片中最後一行式子比較有趣，這裡簡寫一下證明：

令a+b+c=1,ab+bc+ca=x.

sum frac{a}{b+c}+16 imes frac{sum ab}{( sum a)^2}=frac{1-2x+3abc}{x-abc}+16xgeqfrac{1}{x}+16x-2geq8

第2種方法我覺得可能跟標答用的方法有點類似。

若a=0，該不等式是顯然的。

若a e0，由於式子的齊次性，我們不妨設a=1，b+c=t,bc=u. 不等式左邊變為：frac{(t+1)(t+2)}{t+u+1}+frac{9}{t}+frac{16u }{t^2}-2.

我們只需要證明：f(u)=(t+1)(t+2)+(frac{9}{t}+frac{16u }{t^2}-8)(t+u+1)geq0

注意到：f(u)=frac{1}{t^2}[32u-(8t^2-25t-16)]=frac{1}{t^2}[32u-8(t-x_0)(t+frac{16}{x_0})] 其中x_0=frac{25+sqrt{1137}}{16}approx3.669，又因為8(frac{7}{2})^2-25(frac{7}{2})-16=-frac{11}{2}leq0,可得x_0geqfrac{7}{2}

1.若 tleq x_0，則有f(u)geq0，f(u)geq f(0)=(t+1)(t+frac{9}{t}-6)geq 0 2.若tgeq x_0geq frac{7}{2}，frac{f(u)}{t+u+1}=frac{(t+1)(t+2)}{t+u+1}+frac{9}{t}+frac{16u }{t^2}-2 =frac{(t+1)(t+2)}{t+u+1}+16frac{t+u+1 }{t^2}-(frac{16}{t^2}+frac{7}{t}+8)geq 8sqrt{frac{(t+1)(t+2)}{t^2}}-(frac{16}{t^2}+frac{7}{t}+8) geq 8 (1+frac{29}{20t})-(frac{16}{t^2}+frac{7}{t}+8)=frac{23}{5t^2}(t-frac{80}{23})geq frac{23}{5t^2}(frac{7}{2} -frac{80}{23})=frac{1}{10t^2}geq0 其中：(t+1)(t+2)-(t+frac{29}{20})^2=frac{1}{10}(t-frac{41}{40})geq0

沒有啦！


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