我們系列的短期目標是要進入理論物理和數學研究的某些前沿，量子場論應該是到達前沿的一個基本要求。目前學習的微分幾何和經典場論中許多的知識是在為量子場論做鋪墊，降低在QFT中基礎知識要求的壓力。前面集中講了一些Lie群Lie代數的知識，我們接著講一些作用量原理方面的知識，為經典場論和量子場論中無處不在的路徑積分打基礎。

MP14：Lagrange力學

MP15：Legendre變換

MP16：Hamilton力學

MP63：相對論分析力學

路徑泛函

以一維為例，路徑(path)/運動軌跡(trajectory)由 (t, x(t)) 的圖像產生，考察時間段 [0, au] 中的路徑，在這段運動中的平均動能和平均勢能為

egin{align} overline T &= frac{1}{ au}int_0^ au frac{1}{2}mdot x^2 dt \ overline V &= frac{1}{ au}int_0^ au V(x) dt end{align} ag{1}

兩種能量之和體現了機械能的守恆 E = overline E = overline T + overline V ，這自然是Hamilton量的基礎。然而Lagrange量卻是兩種能量之差，這裡實際上反映了當路徑產生局部變化時，兩種能量的某些變化規律。為了系統地研究路徑的變化問題，需要討論一下變分法——變化的不是數而是路徑，以路徑為變數的積分很自然地成為一種泛函，任何映射到數域的映射都可以叫做泛函，我們主要考慮從路徑函數的集合 C 映射到實數的這類泛函 F ，一般記為：

egin{align} F: C & o mathbb R \ f &mapsto F[f] end{align} ag{2}

函數的變化率和導數

過去在分析力學、廣義相對論中都了解過相關的背景，現在要學量子場論了，我們索性把它講透徹。先回顧一下一元函數導數：

frac{d f}{d x} = lim_{varepsilon o 0}{frac{f(x+ varepsilon)-f(x)}{varepsilon}} ag{3}

我們用一種代數的方法來看這個式子。首先不看極限，只考慮某個固定點 x 上產生變化量 varepsilon 構成的差分變化率問題：

frac{Delta f}{varepsilon} = frac{f(x+ varepsilon)-f(x)}{varepsilon} ag{4}

回憶一下仿射空間上的變換群，MP30：仿射空間、變換群、Lie群，我們可以把自變數和函數值取值的空間視作仿射空間 x, f(x) in (mathbb R, -) ，把兩者的變化量取值的空間視為這個仿射空間上的變換群 varepsilon, Delta f in (mathbb R, +, 0) 。那麼(4)不考慮極限時是如下兩個映射：

egin{align} (mathbb R,+,0) & o (mathbb R,+,0) imes (mathbb R,+,0) \ varepsilon &mapsto (Delta f, varepsilon)end{align} ag{5}

和

egin{align} (mathbb R,+,0) imes (mathbb R,+,0) & o mathbb R \ (Delta f, varepsilon) &mapsto frac{Delta f}{varepsilon} = frac{f(x+ varepsilon)-f(x)}{varepsilon} end{align} ag{6}

(5)中 varepsilon 的變化造成了函數值和它同時產生的變化 (Delta f, varepsilon) ，兩者的變化構成一個比率也就是(6)中的差分變化率。注意到(5)是一元函數，(6)是二元函數，兩者的合成是一元函數：

egin{align} R^Delta:(mathbb R,+,0) & o mathbb R \ varepsilon &mapsto R^Delta(varepsilon) \ &= frac{Delta f(varepsilon)}{varepsilon} = frac{f(x+ varepsilon)-f(x)}{varepsilon} end{align} ag{7}

我們從小學的導數，無非是將這個一元函數通過極限的方式局部線性化，構成一個常數(前面假設 x 點已固定)，也就是通過(3)的過程，讓差分變化率的極限不再依賴於 varepsilon ，使得函數 R^Delta(varepsilon) 退化為固定的 frac{df}{dx} 。微積分的思想跨度，說白了就是在這裡通過極限消去了一個變元而已。

變分

我們在這裡講如此初等的內容，是為了讓大家熟悉一種代數化的思維，它立即就可以用到變分法中。令 C 為我們所考察的路徑集合，我們關心的泛函具有(2)中的形式。現在我們將其形式略作改寫，強調空間和變換群：

egin{align} F:(C,-) & o (mathbb R,-) \ f &mapsto F[f] end{align} ag{8}

前面函數求導的例子中，映射是在仿射空間之間進行的，可以和上式作對比。再考慮空間的變換群，上式中 (mathbb R,-) 的變換群顯然是 (mathbb R,+,0) 。泛函和函數的不同在於 (C,-) 的變換群，形式上我們仍然可以寫為 (C,+,0) 。既然如此，我們可以考慮局部微小的變換/差分 varepsilon in (C,+,0) ，它的作用類似於(5)：

egin{align} (C,+,0) & o (mathbb R,+,0) imes (C,+,0) \ varepsilon &mapsto (Delta F, varepsilon)end{align} ag{9}

對比(6)構造映射（後面會解釋這樣的映射不會是必然的）

egin{align} (C,+,0) imes (mathbb R,+,0) & o mathbb R \ (Delta F, varepsilon) &mapsto frac{Delta F}{varepsilon} = frac{F[f + varepsilon]-F(f)}{varepsilon} end{align} ag{10}

對比(7)構造合成映射

egin{align} R^Delta:(C,+,0) & o mathbb R \ varepsilon &mapsto R^Delta(varepsilon) \ &= frac{Delta F(varepsilon)}{varepsilon} = frac{F[f+ varepsilon]-F(f)}{varepsilon} end{align} ag{11}

現在我們發現了問題，分子的實數是沒法除分母的函數的，以上的映射不能保證映射到實數。究其原因，frac{Delta F}{varepsilon} 只是一個形式化的比，它並沒有脫離Cartesian積的 (Delta F, varepsilon) 二元特性，只有在某些情況下它可以構造為實數。可以類比一下多項式的比/比域問題，兩個實多項式的比並不能自動對應到一個多項式。實際上在分析學中，大部分的例子不能自動地用一個數來代替變化量之比：

  • f: mathbb R^n o mathbb R 的方嚮導數問題：需要將分母由變化的向量處理為向量的長度；
  • f: mathbb R^n o mathbb R^n 問題：需要用Jacobi矩陣描述；
  • f: mathbb C o mathbb C 問題：導數的存在需要Cauchy-Riemann方程來約束

我們需要學習方嚮導數的思想，通過某個數來替代分母，構造我們所需的泛函導數。


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