最近在研究上次提到那篇論文中的Optoelectronic Oscillators是如何工作的。

首先，如果我們希望在reservoir computing中運用到這種optoelectronic oscillators，這個oscillator需要是一個混沌系統(chaotic system)。通常情況下，光的功率 和與其初始功率 的關係是 。因此，這個oscillator中的modulator給我們提供了微分方程中的非線性項，但是單單非線性項是不足以使其成為一個混沌系統。比如說，假設表示某系統的微分方程是 ， 顯而易見，這個方程是有確切解的，所以它肯定不會是混亂的。我們不僅需要非線性項，我們還需要時間上的延遲time delay。只有這樣，我們才可以利用混沌效應來進行reservoir computing。

其次，在這個系統中，它進行了多次轉換（功率到伏特到安培），因此我們需要確保 中是無量綱量的(dimentionless)。我們可以引進一個與電壓有關的常數項來完成這個目的。這個modulator的工作原理其實和Michelson Interferometer是一樣的，通過利用兩個光路的長度差來產生phase shift。與普通的Michelson Interferometer不同的是，兩個光路的物理距離是(physical path length)相同的，不同的是光程(optical path length)。它使用了一種特殊的光電材料，這種材料會根據電場（電壓）的改變來改變折射率（refractive index)， 從而產生光程差。所以我們可以講phase shift為 的電壓設為常數項來消去量綱（伏特），就是 。值得一提的是，這個電場會產生於兩個光路之間，因此兩個光路會收到相反方向的電場的影響。我們就不需要擔心biased voltage的施加位置。這個biased voltage是用來減小因為設備誤差帶來的影響，相當於可以設置的零點，有的設備在製造的時候已經將其考慮進去了。

接下來，我比較關心的是這個round trip gain 是從何而來。根據這個oscillator中的元件排列，我們可以得知其中的轉換有哪些。最初，我們射入一道激光，所以初始量是功率。經過photodiode之後，我們將光轉化為電信號，於是我們得到了電流（安培）。最後我們將電信號送進一個過濾器，在這裡我們不會有任何物理量上的改變，但我們會在輸入上乘以一個常數，稱之為響應率responsivity。最後我們講電流轉化為電壓輸入回modulator中。因此，我們可以得出每一圈這個系統產生的變化是 ， 代表初始輸入功率， 代表響應率， 而 代表增加率。

如果我們使用一個two pole bandpass filter, 我們就可以得到一個非常有效的Optoelectronic Oscillator，而它的延時微分方程是 , 其中 是low pass filter response time，而 是high pass filter response time。雖然這通常用來描述複雜的反饋機制，但通過簡單的估算，我們可以證明這是正確的。我們假設 接近無窮大，我們可以將這個微分方程化簡為 ，顯然這是一種最簡單的延遲反饋系統。^[1]

參考

1. ^Delayed Dynamical Systems: Networks, Chimeras and Reservoir Computing https://arxiv.org/pdf/1808.04596.pdf

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