一堂課講清非線性動力學、混沌、分形、網路科學、複雜系統的區別和聯繫

如果你和我一樣，對非線性動力學（Nonlinear Dynamics）、混沌（Chaos）、分形（Fractals）、網路科學（Network Science）、複雜系統（Complex Systems）感興趣，但是有時候卻覺得他們都差不多是一回事，搞不清之間的區別，那麼這堂Strogatz教授的課不僅可以告訴我們這些概念是什麼意思，還可以從歷史角度介紹他們的發展，以及數學上他們之間的明確聯繫。

那麼誰是Strogatz教授呢？某賣書的網站上對Strogatz教授的介紹是這樣的：

Steven H. Strogatz，美國藝術與科學院院士，康奈爾大學應用數學系 Schurman 教授，國際非線性動力學專家，主要研究領域是非線性動力學與複雜系統，目前已發表論文200多篇，其著作被引用次數達到16300多次。

Strogatz教授曾獲得麻省理工學院高教學獎以及數學普及終身成就獎等榮譽，他的關於多種非線性系統的研究已被 Scientific American,Nature, Discover, Business Week 以及 The New York Times 等作為特輯報導。

是不是覺得很牛逼但然並卵，那我只能講大家熟悉的一件事了：

當Watts提出著名的「六度理論」引爆社交網路的時候，他是基於自己在1998年發表的一篇Nature論文《Collective dynamics of small-world networks》。那時Strogatz是Watts的導師，這篇論文的第二作者。這篇論文的引用量是37257，物理學領域所有論文按引用量排名第六。

他的笑容

進一步了解他，可以訪問個人主頁：http://www.stevenstrogatz.com/

這門課是康奈爾大學的MAE 5790，看編號可以知道，這是機械與航空航天工程學院（MAE）的一門研究生一年級級別的課程（5XXX）。課程名稱：Nonlinear dynamics and chaos。

課程視頻地址：
https://www.youtube.com/watch?v=ycJEoqmQvwg&feature=youtu.be

如果你現在能擠出一個半小時，我建議直接點開這門課的第一堂概述課，聽Strogatz教授本人跟你娓娓道來。

視頻：他的第一課

如果暫時沒空，那麼請讓微臣幫忙總結一下。後面的內容約10分鐘讀完。

為了配合這門課，Strogatz教授寫了一本同名教材，現在是第二版。（有中文版，但據說翻譯不地道，有基礎的同學建議直接讀原版）

Nonlinear dynamics and chaos

公眾號後台回復Strogatz獲取本書PDF下載鏈接地址。

本書的第一章，Overview，對應的就是這堂課的內容。大師的Overview課是非常有價值的，比起具體技巧，大師比我們凡人強得多的更是眼界。那就讓Strogatz教授帶我們開開眼界吧。

動力學發展的歷史

十七世紀中期（mid-1600s），牛頓到達他的學術巔峰——發明微積分、發現牛頓三定律和萬有引力、解釋行星圍繞太陽運動，也就是二體運動（2-Body Motion），行星和太陽二體。之後牛頓仰慕者們希望將二體運動擴展到三體運動時，但是由於三體運動太難計算，他們一直卡住沒有什麼進展。

一卡卡到了十九世紀晚期（late-1800s），因為定量研究走不通，Poincaré提出從定性角度去研究三體運動，使他成為了窺見混沌（Chaos）的第一人。他從確定的公式出發，發現了能夠產生不循環的、對初始條件敏感的行為，從而認為無法通過計算長期的精確預測三體運動的結果。

但是他的研究成果當時並沒有引起大家的注意，直到二十世紀中期（mid-1900s）之前，動力學還是基本圍繞非線性振子（Nonlinear Oscillator）以及它在物理和工程領域的應用發展的，主要應用在無線電、雷達等方面。

到了1950s，計算機開始出現，人們可以用計算機來模擬動力學系統進行實驗。

1963年，Lorenz在使用計算機來模擬大氣系統，研究天氣預測的時候，發現簡單的幾個因素複合就產生了一種神奇的現象，這個動力系統不會穩定下來變成周期性或者靜止的點，而是一直以一種非周期性的不規則的方式震蕩，蝴蝶形狀的Chaos圖形就是在他的實驗中得到的。

混沌和非線性

1970年後，混沌理論有了長足的發展，Ruelle和Takens研究了擾流（Turbulence）的觸發；May則在生物學領域提出用混沌來解釋人口增長模型，讓大家理解到了非線性的重要性和用線性來簡化產生的問題；物理學家Feigenbaum則發現了在不同領域、不同特徵的系統，往往發展出相似的混沌系統，提出這是一個普適的定律（Universal Law）。

同樣在1970s，Mandelbrot發現了分形（Fractal），直到現在愛好者們還在用計算機畫出漂亮的無限Zoom in的Mandelbrot分形。

1980年後，混沌理論開始成為熱門研究。

書中給出表格：

A Capsule History of Dynamics

動力學的數學邏輯結構

小心，這裡要出現數學公式了。

為了把現實世界的運動歸類，Strogatz教授提出可以根據兩個指標：一個是動力學系統維數，也可以稱為階數，就是系統涉及變數個數，另一個是這個運動是線性的還是非線性的。

那我們先來看看他是怎麼用數學來描述系統。

用動力學的視角看世界

給出了系統的維度（或者說階數）的定義，再給出了線性非線性的定義之後，我們就可以把這個世界的運動進行分類了。Strogatz教授給出了一張大圖：

A Dynamical View of the World

這圖在上課時候寫在黑板上是這樣的：

黑板上的A Dynamical View of the World

黑板上的A Dynamical View of the World

這就是Strogatz教授對世界上的運動的歸類的理解。

第一行是線性系統，我們就先不關心了，第二行是非線性系統，從一維（n=1）到二維到三維，這三部分就是這本書主要教授的內容。

而這張圖的右下角，當n很大（n>>1）的時候，就是Network Science研究的領域，如果n是連續的話，這時就是廣義相對論、擾流等研究的領域，整個右下角，統稱為Complex Systems。也就是說，在理解了Chaos的數學表達之後，再將變數從3擴展到幾萬幾億個，就可以稱之為Network Science了。