一個Optoelectronic Oscillator系統不僅可以用連續的方程來表示，我們還可以將其改寫為一個離散的系統，通過將連續的激光改成頻率一定 f_r=frac{N}{ au_D} 的脈衝，得到x[k] = eta sum_{m=-infty}^{k}{h[k-m]F(x[m-N])} 。 k 代表第k次脈衝，而h還是代表過濾器的輸出。當頻率 f_r 接近於無窮的時候，它又回到了一個連續的系統。因此，我們還可以利用這個系統來研究離散到連續在混沌系統里的轉變過程。

Spatial-Temporal Diagram

我們希望在一個混亂的時間序列中找到一絲絲規律，於是我們先將一個一維的時間序列變成一個二維的矩陣。將每一次延遲當作一個周期，我們將一段序列分成若干個周期，記周期數為 n 。在每一次周期中，我們再設一個變數為 sigma ，並限制它的範圍為 [0, au_D] 。這樣我們可以視 sigma 為位置變數，它代表在每一次optical turbulence中的位置，而 n 就是時間變數，它代表我們在第幾圈。這種方法被稱為Space-Time Representation，常常用於研究一個激光在延時反饋下的影響。我們可以將 t 寫作 n au_D + sigma ，這個 sigma 可以立即為continous pseudo-spatial variable，用俗話來說就是一個「連續的假的位置變數」。

Autocorrelation

為了尋找某個時間序列的規律，我們經常會使用某種相關函數，例如correlation dimension，或者運用一些疊加手段來調整一個序列，例如 delayed coordinate embeding。我們這次使用自相光來企圖尋找這個混亂的序列之中的小規律。

自相關（英語：Autocorrelation），也叫序列相關[1]，是一個信號於其自身在不同時間點的互相關。非正式地來說，它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差的函數。它是找出重複模式（如被雜訊掩蓋的周期信號），或識別隱含在信號諧波頻率中消失的基頻的數學工具。它常用於信號處理中，用來分析函數或一系列值，如時域信號。[1]

我們以每一個延時區間為單位，來觀察他們之間的相似度。首先我們，先將未做任何調整的序列和其Spatial-Temporal Diagram畫出來。

我們得到了一個沒有任何規律可言的曲線和一個看起來被拉長的圖。於是，我們猜想是不是在每一個周期後都會有一個時間差導致右圖的扭曲。因為，在這個系統中，相速度(phase velocity)和群速度(group velocity)是不相等的，沒經過一段時間波峰就會在形狀上發生改變。於是我們利用自相關函數重新繪製一個圖像，並將其規範化(normalize)為1。

我們得到了一個有些規律的圖像，我們發現兩個spike之間的距離並不是正好的 au_D 而是 au_D+delta ，這個 delta 與第零峰值和第一峰值的寬度都有關係。通過修改周期為 au_D+delta，我們得一個新的二維圖像。對比之前看似被拉長的圖像，新圖的每個周期之間有了更多的相似之處。通常這是一個正確的方向來調整一個混沌系統的時間序列。

參考

  1. ^維基百科：自相關 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%9B%B8%E5%85%B3%E5%87%BD%E6%95%B0

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