庞加莱回归定理

基础物理告诉我们，系统经过不可逆过程之后，是无法自发恢复到原始状态的，比如气体可以自由膨胀，却不会自发收缩。这种单向性常被称为热力学箭头。

但是，无论牛顿运动方程，还是薛定谔方程，都存在时间反演的解，这就意味著，气体的自由膨胀和自发收缩都是合理的物理过程。然而，宏观上只有自由膨胀，没有自发收缩。这是宏观热力学与微观运动学的一个尚未调和的矛盾。

虽然物理实验结果一直支持热力学的不可逆性，但是庞加莱证明了一个定理，使得宏观不可逆性问题变得特别尖锐。这个定理的主要结论是，对于有限体积的系统，除了极少的情况下，系统必然会在经历过一段时间后回复到初始状态附近，更惊人的是，这种回复具有无限次。

用严格的语言表述就是：

对于相空间体积有限的物理系统，设其相空间为，取它的任意非零体积的子集。用表示系统的演化，初始状态为。取任意时间间隔，那么：

1、除掉的一个零测度集外，对其他的，都存在某个正整数使得。换言之，系统从内出发，经过时间后又回到内。

2、除掉的一个零测度集外，对其他的，都存在无穷多个正整数使得。

该定理的严格证明附在文末，有兴趣的读者可以查看(需要哈密顿力学基础)。

回归定理并没有严格给出回归时间，它只是指出了不可逆过程几乎不存在。那么，我们该怎么解释热力学上的不可逆过程呢？或许你会著眼于庞加莱回归定理里的的那个零测度集，这个零测度集内的初始状态是无需满足回归性的，假如物理系统总是处于这个零测度集内，那么就不存在回归疑难了。然而，这个零测度集是明显依赖于的，物理的许可状态不应该依赖于一个任意选定的集合。再者，如果物理状态只能处于一个零测度集上，那么计算熵的公式将大为修改，物理基础也将大为修改——这显然不是首选项。

另有看法是，回归时间远大于宇宙年龄，可以不予理睬。比如体积为立方厘米的理想气体自由膨胀大一倍，再回归到原来的体积，所需的时间远远大于宇宙年龄。这个看法包含太多的回避态度了。举例来说，质子如果会衰变的话，它的寿命也将远大于宇宙年龄，但是这不代表质子衰变不会产生可观测的效应。另外，物理完全可以成为一个自恰的理论系统，如果把热力学看成是某种近似理论，我们应该找出这种近似成立的条件。

关于宏观不可逆性起源的研究仍在继续。

附：庞加莱回归定理的严格证明

如果用变换表示系统经过时间的演化，例如、。根据刘维尔定理，是一个保持相体积不变的变换，我们称这种变换为保测变换。更严格地说，空间上的变换作用在任意可测子集上，若和的测度(体积)相等，那么我们就称为保测变换。如果使用保测变换的语言，庞加莱回归定理可表述为：

设是具有有限测度的空间（即体积不是无限大的集合），是保测变换，可测集，那么：

1、除掉一个零测度集外，对其他的，都存在某个正整数使得。

2、除掉一个零测度集外，对其他的，都存在无穷多个正整数使得。

证明：

1、

令 $B_0={xin A,|,forall kin { m N}^+,T^k(x) otin A}$ ，也就是说是中经过演化不再回归到的点的集合。可以证明是可测集，不过这里不予证明。下面证明的测度为。

假设并且 $x in T ^ { m } left( B _ { 0 } ight) cap T ^ { n } left( B _ { 0 } ight)$ ，取左式的次逆，那么 $T ^ { - n } ( x )$ $T ^ { m - n } left( B _ { 0 } ight) cap B _ { 0 }$ ，于是当时，与相交，这和的定义矛盾。于是对任意的有 $T^{m}left(B_{0} ight) cap T^{n}left(B_{0} ight)=varnothing$ 。

于是互不相交，注意到是保测映射，所以：

$egin{align*} mu (igcup_{n=1}^{infty} T^{n}left(B_{0} ight) )=sum_{n=1}^{infty} muleft(T^{n}left(B_{0} ight) ight)=sum_{n=1}^{infty} muleft(B_{0} ight) end{align*}$ 其中表示取测度。