MP89：Hamilton方程的辛結構

在物理學中，辛相關的話題傳統上是從分析力學開始入手的：

MP14：Lagrange力學

MP15：Legendre變換

MP16：Hamilton力學

MP39：量子力學中的內積結構

MP63：相對論分析力學

-維實微分流形的餘切叢是維的微分流形，在其上建立 -維的 -局部坐標系，構成力學上的相空間。相空間上的力學主要是研究相空間上的實數量場和實向量場，實數量場的集合記為，實向量場的集合記為。

Hamilton方程

Hamilton量給出了一個實值函數數量場。利用 -維的局部坐標系，力學規律可以表達為相空間上的Hamilton方程：

$dot{q}_k=frac{partial H}{partial p_k}, dot{p}_k=-frac{partial H}{partial q_k} ag{1}$

在給定的局部坐標卡中， $ext{dim}(T^*M) = 2cdot ext{dim}(M)$ 。這種結構相當於實空間和復空間的維度關係 $ext{dim}(mathbb R^{2n}) = 2cdot ext{dim}(mathbb C^n)$ 。我們自然考慮用複流形的方式描述Hamilton方程。取：

$frac{partial}{partial z} = frac{1}{2} ig ( frac{partial}{partial q} - ifrac{partial}{partial p} ig ), frac{partial}{partial ar{z}} = frac{1}{2} ig ( frac{partial}{partial q} + ifrac{partial}{partial p} ig ) ag{2}$

將相空間轉為復空間，代入Hamilton方程有以下的復形式：

$dot{z} = -2i frac{partial H}{partial ar{z}} ag{3}$

(1)和(3)已經出現了正負號交錯的形式，蘊含著symplectic的性質，用Poisson括弧看更為明顯。

Poisson括弧

相空間上對時間的微分運算元，代入(1)中的Hamilton方程有

$egin{align} frac{partial}{partial t} &= dot{p}^k frac{partial}{partial p^k} + dot{q}^k frac{partial}{partial q^k} \ &= sum_kBig(frac{partial H}{partial q^k} frac{partial}{partial p^k} - frac{partial H}{partial p^k} frac{partial}{partial q^k} Big) end{align} ag{4}$

也就是說，用Hamilton量可以誘導一個運算元：

$egin{align} D_H: mathfrak X & o mathbb R \ G &mapsto D_H G = dot G \ &= sum_kBig( frac{partial H}{partial q^k} frac{partial}{partial p^k} - frac{partial H}{partial p^k} frac{partial}{partial q^k} Big) G end{align} ag{5}$

它作用於數量場的結果是得到數量場對時間的導數。運算元作用於自身有：，這體現出了Hamilton量的守恆率——力學中保守系統的能量守恆。進一步把它擴展為二元運算，且不限於Hamilton量，而是一般的數量場所誘導的，於是得到Poisson括弧的定義：

$egin{align} {cdot,cdot}: mathfrak X imes mathfrak X & o mathfrak X \ (F,G) &mapsto {F,G} = D_F(G) \ &= sum_kBig(frac{partial F}{partial q^k} frac{partial G}{partial p^k} - frac{partial F}{partial p^k} frac{partial G}{partial q^k} Big) end{align} ag{6}$

以我們過去所學的經驗，Poisson括弧實際上是一種對易子/Lie括弧，它測算了某種微分運算元的不對易性。方便起見，我們把數量場對坐標系的梯度記為 $dF = ext{grad}(F)^T = egin{bmatrix}frac{partial}{partial q},frac{partial}{partial p}end{bmatrix} F =egin{bmatrix} frac{partial }{partial q_1},dots,frac{partial }{partial q_n},frac{partial }{partial p_1},dots,frac{partial }{partial p_n} end{bmatrix} F$ ，那麼Poisson括弧可以展開為：

$egin{align} {F,G} &= sum_kBig(frac{partial F}{partial q^k} frac{partial G}{partial p^k} - frac{partial F}{partial p^k} frac{partial G}{partial q^k} Big) \ &= egin{bmatrix}frac{partial}{partial q},frac{partial}{partial p}end{bmatrix} F cdot egin{bmatrix}frac{partial}{partial p} \ -frac{partial}{partial q}end{bmatrix} G\ & = dF cdot mathbb J cdot ext{grad}(G) end{align} ag{7}$

其中的矩陣

$mathbb J = egin{bmatrix} 0 & I_n \ - I_n & 0 end{bmatrix} ag{8}$

就是辛矩陣。過去我們常見的二次型是用 -維的單位矩陣來構造的，而(1)和(3)正負號交錯的Hamilton方程，則是用辛矩陣來構造。

Hamilton向量場

Poisson括弧作為一種二元封閉運算，逐點看則是 ${cdot,cdot}_z: mathbb R imes mathbb R o mathbb R$ ，這樣使得向量場的集合具有了某種代數結構。此外，從張量觀點，逐點看，Poisson流形的餘切向量和切向量也可以通過內積映射到實數。這兩種運算的結果可以結合在一起，於是任意數量場可以確定一個向量場，使得對於滿足：

$langle dF,X_H angle = dF cdot X_H = {F,H} ag{9}$

即，以Poisson流形的數量場之間的Poisson括弧的結果，誘導出任意數量場所對應的向量場，稱為Hamilton向量場。這裡的全微分(作為一種協變張量，相當於梯度、外微分) 以內積作用於向量，得到的是數量函數在向量方向的方嚮導數。注意這樣的定義是對於任意數量場而言的。如果進一步滿足Hamilton方程(1)，則進一步有：