第1講 速算與巧算（一）

　　計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

　　我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速演算法。

例1 四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

　　求這10名同學的總分。

分析與解：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作「基準」，比如以「80」作基準，這10個數與80的差如下：

　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中「-」號表示這個數比80小。於是得到

　　總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-

　　＝800＋9＝809。

　　實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：

　　通過口算，得到差數累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。

　　例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用於加數較多，而且所有的加數相差不大的情況。作為「基準」的數（如例1的80）叫做基準數，各數與基準數的差的和叫做累計差。由例1得到：

總和數=基準數×加數的個數+累計差，

平均數=基準數+累計差÷加數的個數。

　　在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數應盡量選取整十、整百的數。

例2 某農場有10塊麥田，每塊的產量如下（單位：千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產量。

解：選基準數為450，則

　　累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

　　＝50，

　　平均每塊產量=450＋50÷10＝455（千克）。

　　答：平均每塊麥田的產量為455千克。

　　求一位數的平方，在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對於兩位數的平方，大多數同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什麼竅門，能夠迅速算出兩位數的平方呢？這裡向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數與最接近的整十數的差，通過移多補少，將所求數轉化成一個整十數乘以另一數，再加上零頭的平方數。下面通過例題來說明這一方法。

例3 求29²和82²的值。

解：29²=29×29

　　＝（29＋1）×（29-1）＋12

　　＝30×28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　82²＝82×82

　　＝（82－2）×（82＋2）＋2²

　　＝80×84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因為29比30少1，所以給29「補」1，這叫「補少」；因為82比80多2，所以從82中「移走」2，這叫「移多」。因為是兩個相同數相乘，所以對其中一個數「移多補少」後，還需要在另一個數上「找齊」。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最後，還要加上「移多補少」的數的平方。

　　由湊整補零法計算35²，得

　　35×35＝40×30＋5²=1225。這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法結果相同。

　　這種方法不僅適用於求兩位數的平方值，也適用於求三位數或更多位數的平方值。

例4 求993²和2004²的值。

解：993²=993×993

　　＝（993＋7）×（993-7）+7²

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　2004²=2004×2004

　　＝（2004-4）×（2004+4）＋42

　　＝2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。

　　請看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

　　這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數都是兩位數，一個因數的十位數與個位數相同，另一因數的十位數與個位數之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。

例5 88×64＝？

分析與解：由乘法分配律和結合律，得到

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　於是，我們得到下面的速算式：

　　由上式看出，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數是「個位與十位相同的因數」的十位數與「個位與十位之和為10的因數」的十位數加1的乘積，本例為8×（6＋1）。

例6 77×91＝？

解：由例3的解法得到

　　由上式看出，當兩個因數的個位數之積是一位數時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。

　　用這種速演算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法計算。

練習1

　　1.求下面10個數的總和：

　　165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.農業科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為（單位：厘米）：

　　26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。

　　3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數分別為：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

　　他們共加工了多少個零件？

　　4.計算：

　　13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.計算下列各題：

　　（1）37²； （2）53²； （3）91²；

　　（4）68²： （5）108²； （6）397²。

　　6.計算下列各題：

　　（1）77×28；（2）66×55；

　　（3）33×19；（4）82×44；

　　（5）37×33；（6）46×99。

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