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有限覆蓋定理的一個應用

雪花台灣 2019-03-16 19:46

設在上一致連續 ,數列收斂於。證明：

$\ lim limits_{x ightarrow +infty} f(x) = 0$

一個錯誤的證明：

$forall x in [0,1] limlimits_{x ightarrow +infty} f(x+n) = 0 Leftrightarrow forall x in [0,1],forall varepsilon > 0, exists N in N_{+};$

使得：

於是對於上述 ;成立

即

$lim limits_{x ightarrow +infty} f(x) = 0$

上面的證明看似沒問題，但卻隱含了一個錯誤，細心的讀者可能已經發現問題了。

錯誤如下：

$forall x in [0,1],forall varepsilon > 0, exists N in N_{+};$

其中的實際是，即N和與同時有關，即對於固定的 ,

都對應於一個。

從而集合 $H = {N(x,varepsilon_{0}) | xin [0,1]}$ 是一個無窮元素集合

不一定存在，即找不到一個通用的，所以這句話是錯誤的

正確的證明如下：

設在上一致連續

，成立

$|f(x)-f(x)|<frac{varepsilon}{2} ag{1}$

將進行等分，使得 $frac{1}{k} < delta$ ,分點為

由 $forall x in [0,1],lim_{n ightarrow +infty}{f(x+n)} = 0$ ;

則對任一分點當時，有

$|f(x_i+n)| < frac{varepsilon}{2},i =1,2,...,k ag{2}$

取 $N= max{N_{i} | i=1,2,...,k}$ ,

表示的整數部分,

則有使得 $x-[x] in [x_{i-1},x_i]$ ，

從而；

$|f(x)| leqslant |f(x) - f([x]+x_i)| + |f([x]+x_i)| < frac{varepsilon}{2} + frac{varepsilon}{2} = varepsilon$

證畢

總結：

證明方法核心是利用「有限覆蓋定理」思維，將無限問題轉化為有限

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