調和分析(一)
這部分我們主要講《調和分析》中與運算元有關的一些性質。
注1:本文考慮的 上的復值函數。
注2:在分析學中,若無特殊聲明,凡涉及到 中的集合的拓撲性質均是相對於 ,例如閉包、開、緊等。
注3:若無特殊聲明,區域均值連通開集。
注4:若無特殊聲明,不等式中的 均表示僅與 有關的正的常數。
注5: 表示 中可測集 上的可積函數 的積分均值,即 。其中, 表示 的 Lebesgue 測度; 。
注6: 表示 中以 為球心, 為半徑的開球。
注7: 表示對 的開集 與子集 , 為緊集,且 ,稱為緊包含。
注8:設 表示在 的子集 上具有性質 的函數空間,用 表示在任意開集 上具有性質 的函數空間,顯然 。
- 多重指標的偏導數記號
:非負整數集合;
: ;
: 維歐式空間;
: ,為多重指標,其中, ,記 ;
: ;
: ;
: ;
: , , ;
: , ;
: ;
: ,為 關於 的 階關於指標 的偏導數;
: 。特別的, 為 的梯度向量, 為 的 Hessian 矩陣。
: ,為 的 階偏導數的模長, ;
: 。
- 向異性的函數記號
以下 為 中開集:
: ,為拋物柱體;
: ,為側邊界;
: ,為拋物邊界;
: 關於 的 階偏導數;
- 集合的邊界性質