拉馬努金真的是突然想起那些公式的嗎？那些式子無限逼近後等於完美的 π，還是隻是像？

想表達pi也不用多複雜的公式

[公式]

[公式]

等等，這個寫成黎曼積分更親民一些。

√π＝lim{m→∞} ∑{n＞0} [ (1－1/m)^n · √(m/n) / m ]

這些公式的意義，或者說很多人先後提出不同的公式，是因為我們希望加快級數收斂速度。

比如最簡單的萊布尼茲公式： [公式] ，就可以簡便地計算圓周率，但是這個級數收斂太慢了，計算效率不會很高；這個級數的「簡單」證明是用幾何數列逐項積分後代入1，但由此你還需要阿貝爾定理來證明這個級數在1上仍然收斂，相對有些麻煩；更初等的證明是用如下形式來避開無窮級數：

[公式]

注意這個式子不涉及無窮級數，因此不受收斂半徑的影響；我們可以對這個式子左右逐項從0到1做定積分，最後的餘項的積分可以用夾逼準則判定其必為0，得證。

現代超級計算機計算圓周率還可以用效率更高的公式，比如Machin公式：

[公式]

或者更暴躁一些的基於拉馬努金的工作的Chudnovsky公式：

[公式]

然而，大多數被用作測試的程序使用的公式都是相對簡單的Machin-like型，比如東京大學教授金田康正的公式：

[公式]

（以上所有等號均有嚴格證明）

丘德諾夫斯基公式

1989年，大衛·丘德諾夫斯基和格雷高裏·丘德諾夫斯基兄弟將拉馬努金公式改良，這個公式被稱為丘德諾夫斯基公式，每計算一項可以得到15位的十進位精度。

丘德諾夫斯基公式十分適合計算機編程，是計算機使用較快的一個公式。右邊是這個公式的一個簡化版本：

1994年丘德諾夫斯基兄弟使用這個公式計較到了4,044,000,000位。

附上Python計算代碼

# -*- coding: UTF-8 -*-

# Calculating PI with Chudnovsky-Series

#

import time

# In following functions, High-Prec Nums are both amplified 10**n

# pre-defined: Base=10**n

#

def Sqrt10005(): # Sqrt(10005L) by Imitate-Manual Method

n1=0

c=10002499687 #100.02499687

mc=8; m=mc

f1=10**mc

f2=f1*f1

a=10005*f2-c*c

while mc&

a*=f2

b=c*2*f1

d=a//b

c=c*f1+d

a-=d*(b+d)

mc+=m

if mc*2&>n: m=n-mc

else: m=mc

f1=10**m

f2=f1*f1

n1+=1

return c

# Main Program

#

print ("Chudnovsky法計算高精度圓周率程序")

while 1:

n=int(input(計算位數[1..50000],0:退出：))

if n&<=10: break

n+=2

base=10**n

t=time.clock()

# Start Calculating

A=13591409*base; B=A

c3=13591409

i=1

while abs(A)&>5:

c1=((108-72*i)*i-46)*i+5

c2=10939058860032000*i**3

c4=c3; c3+=545140134

i+=1

A=A*c1*c3//(c2*c4) # Must in form: A=A*...

B+=A

p=426880*base*Sqrt10005()//B//100

# Post access

print ("用時= %8.3f 秒" % (time.clock()-t))

s=input(是否顯示結果(Y/N):)

if (s==Y)|(s=="y"): print ("PI="+str(p))

# end

ζ(2)=π2/6

Wallis公式，揭示了 [公式] 與整數之間不尋常的關係。

這種式子很多的，用級數表示的，連分數表示的，無窮乘積表示的，反三角表示的，一大堆。

畢竟pi也不是什麼魔鬼嘛（

一部分是等於，另一部分還未驗證。

至於他怎麼想出來的，沒人知道，不過他對外宣稱是直覺。

別問，問就是女神託夢2333

π=sqrt(6ζ(2))

[公式]

Ref:[1]

參考

  1. ^L. J. Lange, An elegant continued fraction for pi, The American Mathematical Monthly, 106 (1999), pp. 456–458.

如果

圓周率＝3.143167672515498……

則

d÷(d－AB)×R＝pi

d÷(d－AB)×R×3＝C

pi×d＝C

d任一更換都＝pi×d

[公式] ，n為整數

歐拉萬歲！

用我發現了《時間生命是一對同在的自然法則》的觀點來看。3*5=15，2*7=14，2*8=16，=是30/2的15，15/2的7和8同在，六份統一半徑時間數學週期，是5+5=10，10*6=60，60*6=360份半徑週期，半徑5*6份統一標準=30半徑和週期，10*3=30的三份直徑=六份統一曲直時間週期，直徑和時間數學週期。曲和直都是一對固定方向和變化方向的時間份量標準。所以自然規律是時間標準，是無餘數的規律。

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