這部分我們主要講《調和分析》中與運算元有關的一些性質。

注1：本文考慮的 mathbb R^n 上的復值函數。

注2：在分析學中，若無特殊聲明，凡涉及到 mathbb R^n 中的集合的拓撲性質均是相對於 mathbb R^n ，例如閉包、開、緊等。

注3：若無特殊聲明，區域均值連通開集。

注4：若無特殊聲明，不等式中的 C(eta) 均表示僅與 eta 有關的正的常數。

注5： u_Omega 表示 mathbb R^n 中可測集 Omega 上的可積函數 u 的積分均值，即 u_Omega:=frac{1}{|Omega|}int_{Omega}u mathrm{d}x 。其中， |Omega| 表示 Omega 的 Lebesgue 測度； |u|_{Omega}:=frac{1}{|Omega|}int_{Omega}|u| mathrm{d}x 。

注6： B_x(r) 表示 mathbb R^n 中以 x 為球心， r 為半徑的開球。

注7： Vsubsetsubset Omega 表示對 mathbb R^n 的開集 V 與子集 Omega ， ar V 為緊集，且 Vsubset ar Vsubset Omega ，稱為緊包含。

注8：設 mathcal X(Omega) 表示在 mathbb R^n 的子集 Omega 上具有性質 mathcal X 的函數空間，用 {mathcal X}_{ ext{loc}}(Omega) 表示在任意開集 Usubsetsubset Omega 上具有性質mathcal X 的函數空間，顯然 {mathcal X} (Omega)subset{mathcal X}_{ ext{loc}}(Omega) 。

  • 多重指標的偏導數記號

mathbb N ：非負整數集合；

k ： kin mathbb N ；

mathbb R^n ： n 維歐式空間；

eta ： (eta_1,cdots,eta_n) ，為多重指標，其中， eta_jinmathbb N ，記 etain mathbb{N}^n ；

|eta| ： eta_1+cdots+eta_n ；

eta! ： eta_1!cdotseta_n! ；

gammapm eta ： (gamma_1pm eta_1,cdots,gamma_npm eta_n) ；

gammale eta ： gamma_1le eta_1 ， cdots ， gamma_nle eta_n ；

inom{eta}{gamma} ： frac{eta!}{gamma!(eta-gamma)!}=inom{eta_1}{gamma_1}cdotsinom{eta_n}{gamma_n}， gammaleeta ；

x^eta ： x_1^{eta_1}cdots x_n^{eta_n} ；

D^eta u ： frac{partial^{|eta|}u}{partial x_1^{eta_1}cdotspartial x_n^{eta_n}} ，為 u 關於 x 的 |eta| 階關於指標 eta 的偏導數；

D^k u ： (D^eta u)_{|eta|=k} 。特別的， D u 為 u 的梯度向量， D^2 u 為 u 的 Hessian 矩陣。

|D^k u| ： (sum_{|eta|= k} {|D^eta u|^2})^{frac{1}{2}} ，為 u 的 k 階偏導數的模長，kinmathbb N ；

Vert D^k uVert_{L^p(Omega)} ： (sum_{|eta|=k}Vert D^eta uVert_{L^p(Omega)}^p)^{frac{1}{p}} 。

  • t 向異性的函數記號

以下 Omega 為 mathbb R^n 中開集：

Omega_T ： Omega imes(0,T] ，為拋物柱體；

partial_lOmega_T ： partialOmega imes (0,T) ，為側邊界；

partial_pOmega_T ： partial_lOmega_T cup arOmega imes {0} ，為拋物邊界；

frac{partial ^lu}{partial t^l} ： u(x,t) 關於 t 的 l 階偏導數；

  • 集合的邊界性質

以下 Omega 為 mathbb R^n 中有界開集：

partial Omegain C^k ： forall xin partialOmega ， exists r>0 與實值函數 uin C^k(mathbb R^{n-1}) ，使得坐標軸重新定向標號後有 Omegacap B_r(x) ={yin B_r(x):y_n>u(y_1,cdots,y_{n-1})} 。

partial Omegain C^{k,alpha} ：在上述定義中，將「uin C^k(mathbb R^{n-1})」換成「 uin C^{k,alpha}(mathbb R^{n-1}) 」。（若 partialOmegain C^{k+1} ，則 partialOmegain C^{k,alpha} ）

線段性質： forall xinpartialOmega ， exists 鄰域 U_x 與非零向量 y_x ，使得對 forall zin U_xcap Omega ，線段 {z+ty_x: 0le tle 1}subsetOmega 。（若 partialOmegain C^1 ，則 Omega 滿足線段性質）

錐性質：存在有限錐 V ，使得對 forall xin Omega ， exists 全等於 V 且以 x 為頂點的錐 V_x 包含於 Omega 。（若 partialOmegain C^1 ，則 Omega 滿足錐性質）

邊界拉直：若 partial Omegain C^k （或 partial Omegain C^{k,alpha} ），則對 forall xin partialOmega ，定義中的 r 、 u ，以及如下定義的 mathbb R^n 到自身的映射 phi ： left{ egin{aligned} & phi^j(y):=y_j , j=1,cdots ,n-1\ & phi ^{n}(y):=y_n-u(y_1,cdots, y_{n-1}) \ end{aligned} ight. ，則稱 phi 為 partial Omega 在 x 處的邊界拉直。其滿足性質：（i） phi 、 phi^{-1}in C^k(mathbb R^n) （或 C^{k,alpha}(mathbb R^n) ）；（ii） phi(B_r(x)cap Omega) 為 mathbb R^n_+ 中開集；（iii） phi(B_r(x)cap partialOmega)subset { z_n=0} ；（iv） det (Dphi)=det (Dphi^{-1})equiv 1 。

【引】函數空間與廣義函數空間

注1：{cal S}(mathbb R^n):={uin C^infty(mathbb R^n):sup_{xinmathbb R^n} |x^{gamma} D^eta u|<infty,forall gamma,etain mathbb{N}^n } 稱為 Schwarz 空間，其中元素 u 稱為速降函數。規定其上一族半範數 p_{gamma,eta}(u):=sup_{xinmathbb R^n}|x^gamma D^eta u| ，由《泛函分析（一）》知，其拓撲化得到局部凸拓撲線性空間 ({cal S}(mathbb R^n), au_{{cal S}}) 。其共軛空間記為 {cal S}(mathbb R^n) ，稱為緩增廣義函數空間（或 {cal S} 廣義函數空間），當 uin L^p(mathbb R^n)subset{cal S}(mathbb R^n) （ 1le ple infty ）時， langle u,v angle= int_{mathbb R^n}ucdot v mathrm{d}x 。

注2： {cal E}(mathbb R^n):=C^infty(mathbb R^n) 中規定一族半範數 p_{K,m}(u):=sum_{|eta| le m}sup_{xin K}|D^eta u| （ K 為 mathbb R^n 中緊集），則其拓撲化得到局部凸拓撲線性空間 (C^infty(mathbb R^n), au_{{cal E}}) ，其共軛空間記為 {cal E}(mathbb R^n) ，稱為{cal E} 廣義函數空間。

注3： {cal D}(mathbb R^n):=C^infty_c(mathbb R^n) 由局部凸拓撲線性空間 C^infty_c(K) 的極限生成（ K 為 mathbb R^n 中緊集，半範數規定為 p_{m}(u):= sum_{|eta| le m}sup_{xin K}|D^eta u| ），得到局部凸拓撲線性空間 (C^infty_c(mathbb R^n), au_{{cal D}}) ，其共軛空間記為{cal D}(mathbb R^n) ，稱為{cal D} 廣義函數空間，當 uin L^1_{ ext{loc}}(mathbb R^n)subset {cal D}(mathbb R^n) 時， langle u,v angle=int_{mathbb R^n}ucdot v mathrm{d}x 。

注4：上圖中各類（廣義）函數空間的定義，除了 {cal S}(mathbb R^n) 和 {cal S}(mathbb R^n) 外，均可推廣到 mathbb R^n 中的開集 Omega 上。

例（ delta 函數）： delta 函數（又稱「狄拉克函數」）為 {cal D} 、 {cal S} 或 {cal E} 廣義函數，作用於基本空間的函數 v 得到的值為 langle delta,v angle=v(0) 。更一般的，令 delta_a(x):=delta(x-a) ，則 langle delta_a,v angle=v(a) 。

【一】卷積

形式上，卷積可視為兩個 {cal D} 廣義函數 u 、 v 之間的運算 uast v ，如下定義：

langle uast v,varphi angle:=langle u(x),langle v(y),varphi(x+y) angle angle ， forall varphiin {cal D}(mathbb R^n) 。

但不是任意兩個廣義函數之間都可以做卷積，只有在特定的情況下才有意義。

1. {cal D}(mathbb {R^n}) imes {cal D}(mathbb {R^n}) ightarrow {cal E}(mathbb {R^n})

卷積可視為 {cal D}(mathbb {R^n}) imes {cal D}(mathbb {R^n}) 到 {cal E}(mathbb {R^n}) 的映射。

此時： uast v=langle u(y),v(x-y) angle=vast u 。

2. {cal S}(mathbb {R^n}) imes {cal S}(mathbb {R^n}) ightarrow {cal E}(mathbb {R^n})

卷積可視為 {cal S}(mathbb {R^n}) imes {cal S}(mathbb {R^n}) 到 {cal E}(mathbb {R^n}) 的映射。

此時： uast v=langle u(y),v(x-y) angle 。

（特別的， ( {cal S}(mathbb {R^n}),ast) 為一個交換代數）

3. {cal E}(mathbb {R^n}) imes {cal E}(mathbb {R^n}) ightarrow {cal E}(mathbb {R^n})

卷積可視為 {cal E}(mathbb {R^n}) 上的二元運算。

此時： ( {cal E}(mathbb {R^n}),ast) 為一個交換幺代數（ delta 函數為幺元），稱為卷積代數。

4. 應用： L^p(mathbb {R^n}) imes L^q(mathbb {R^n}) ightarrow L^r(mathbb {R^n})

利用後文的「運算元插值理論」，可得到 Young 卷積不等式：

當 frac{1}{r}+1=frac{1}{p}+frac{1}{q} （ 1le p,q,rleinfty ）時，

Vert uast vVert_{L^r(mathbb R^n)}le Vert uVert_{L^p(mathbb R^n)} Vert vVert_{L^q(mathbb R^n)} ，且 uast v=int_{mathbb R^n} u(y)v(x-y) mathrm{d}y=vast u 。

（特別的， (L^1(mathbb {R^n}),ast) 為一個交換 Banach 代數）

【二】Fourier 變換

我們先給出 Schwarz 空間及緩增廣義函數空間中的 Fourier 變換，再利用稠密性，將其推廣至 L^1 空間與 L^2 空間中去。

1. {cal S}(mathbb R^n) 與 {cal S}(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換

（1）{cal S}(mathbb R^n)上的 Fourier 變換： mathscr{F}:umapsto hat u(xi)=int_{mathbb R^n}u(x)e^{-2pi ixcdot xi} mathrm{d}x ，為 {cal S}(mathbb R^n) 到自身的拓撲線性同構，逆變換為 mathscr{F}^{-1}:umapsto ilde u(x)=int_{mathbb R^n}u(xi)e^{2pi ixcdot xi} mathrm{d}xi ，且將卷積運算變為乘積運算。

（2）{cal S}(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換： langle hat{u},v angle:=langle u,hat{v} angle ，為 {cal S}(mathbb R^n) 到自身的線性同構，逆變換為 langle ilde {u},v angle:=langle u, ilde{v} angle 。

2. 應用： L^1(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換

L^1(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換： mathscr{F}:umapsto hat u(xi)=int_{mathbb R^n}u(x)e^{-2pi ixcdot xi} mathrm{d}x ，為 L^1(mathbb R^n) 到 L^infty(mathbb R^n) 的有界線性運算元，值域為 C_0(mathbb R^n) （定義見《測度論（一）》），且將卷積運算變為乘積運算。

3. 應用： L^2(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換

L^2(mathbb R^n) 上的 Fourier 變換： mathscr{F}:umapsto hat u(xi)=int_{mathbb R^n}u(x)e^{-2pi ixcdot xi} mathrm{d}x ，為 L^2(mathbb R^n) 到自身的保範線性同構，逆變換為 mathscr{F}^{-1}:umapsto ilde u(x)=int_{mathbb R^n}u(xi)e^{2pi ixcdot xi} mathrm{d}xi 。

【三】運算元插值理論

給定兩個測度空間 (Omega_1,{cal F}_1,mu_1) 和 (Omega_2,{cal F}_2,mu_2) ，令 1le p,qle infty ， T 是 M(Omega_1) 到 M(Omega_2) （分別表示 Omega_1 和 Omega_2 上所有可測函數全體）的運算元，則有如下定義：

稱 T 為弱 (p,q) 型的，若： left{ egin{aligned} & mu_2 ({|T u|>M} )le (frac{CVert uVert_{L^p(Omega_1)}}{M})^q , & 1le q<infty \ & Vert TuVert_{L^infty(Omega_2)}le CVert uVert_{L^p(Omega_1)}, &q=infty \ end{aligned} ight. ， 其中，針對任意 uin L^p(Omega_1) 以及 M>0 ；

稱 T 為強 (p,q) 型的，若： Vert TuVert_{L^q(Omega_2)}le C Vert uVert_{L^p(Omega_1)}， forall uin L^p(Omega_1) 。

注1：強 (p,q) 型 Rightarrow 弱 (p,q) 型。

注2： T 為強 (p,q) 型線性運算元 Leftrightarrow T 為 L^p(Omega_1) 到 L^q(Omega_2) 的有界線性運算元。

注3：稱 T 為次線性運算元，如果：（i） |T(u+v)|le |Tu|+|Tv| ；（ii） |T(lambda u)|=|lambda| |Tu| ， forall lambdain mathbb C 。

1. Riesz-Thorin 插值定理

(Omega_1,{cal F}_1,mu_1) 和 (Omega_2,{cal F}_2,mu_2) 為sigma- 有限測度空間， T 為線性運算元，1le p_j,q_jle infty ，若：

（i） T 為強 (p_0,q_0) 型；

（ii） T 為強 (p_1,q_1) 型，

則： T 為強 (p_t,q_t) 型，其中， (frac{1}{p_t},frac{1}{q_t}) 為線段兩端點 (frac{1}{p_0},frac{1}{q_0}) 、 (frac{1}{p_1},frac{1}{q_1}) 中任意一點（ tin[0,1] ）。

2. Marcinkiewicz 插值定理

  • 版本一

(Omega_1,{cal F}_1,mu_1) 和 (Omega_2,{cal F}_2,mu_2) 為測度空間， T 為次線性運算元， 1le p_0<P> ，若：</P><P>（i） <img src= 為弱 (p_0,p_0) 型；

（ii） T 為弱 (p_1,p_1) 型，

則： T 為強 (p,p) 型， forall p_0<P> 。</P><P></P></p> <ul> <li>版本二（Hardy 空間）</li> </ul> <p><P>令 <img src= ， T 為次線性運算元， 1< p_1le infty ，若：

（i） T 為 {cal H}^1(mathbb R^n) 到 L^1(mathbb R^n) 的運算元；

（ii）T 為弱 (p_1,p_1) 型，

則： T 為強 (p,p) 型， forall 1<P> 。</P><P>註：Hardy 空間 <img src= 的定義見《調和分析（二）》。

  • 版本三（BMO 空間）

令 Omega_1=Omega_2=Omega ，為 mathbb R^n 中的區域， T 為線性運算元， 1< p_0< infty ，若：

（i）T 為強 (p_0,p_0) 型；

（ii）T 為 L^infty(Omega) 到 ext{BMO}(Omega) 的有界運算元，

則： T 為強 (p,p) 型， forall p_0<P> 。</P><P>註：BMO 空間 <img src= 的定義見《調和分析（二）》。

【四】極大函數運算元

利用運算元插值理論，可得出 Hardy-Littlewood 極大運算元的 L^p 有界性；利用 C-Z 分解，可得出二進方體極大函數的性質，同時，C-Z 分解有著廣泛的應用。

1. Hardy-Littlewood 極大函數運算元

定義 Hardy-Littlewood 極大函數算子： Mu(x):=sup_{r>0} |u|_{B_x(r)} 。其為 L^1_{ ext{loc}}(mathbb R^n) 到 M(mathbb R^n) 的線性運算元。

  • 運算元插值理論的應用

線性運算元 M 滿足：

（i） M 為弱 (1,1) 型；

（ii）M 為強 (infty,infty) 型，

故： M 為強 (p,p) 型， forall 1<P> 。</P><P></P><P><b>2. 二進方體極大函數運算元</b> </P></p> <figure data-size=

定義二進方體極大函數算子： M_du(x):=sup_{k} | sum_{Qin{cal Q}_k}u_Q 1_Q(x) |=sup_k |{mathbb E}(u|sigma({cal Q}_k)) | 。其為 L^1_{ ext{loc}}(mathbb R^n) 到 M(mathbb R^n) 的線性子，且為弱 (1,1) 型。

注1： {cal Q}_k 由 mathbb R^n 中頂點在 (2^{-k}mathbb {Z})^n 上邊長為 2^{-k} 的左閉右開立方體 Q 構成。 igcup_{k}{cal Q}_k 中的元素稱為二進方體。

注2： {mathbb E}(u|sigma({cal Q}_k)) 表示 u 關於 {cal Q}_k 生成的 sigma- 代數的「條件期望」，類似《測度論》中概率版本「條件期望」的定義（但非概率測度，而為 Lebesgue 測度），此時，因 {cal Q}_k 由原子集生成，故可理解為 u 在 {cal Q}_k 中的平滑化。

  • Calderón–Zygmund 分解

設 uin L^1(mathbb R^n) 非負，則對 forall lambda>0 ， exists 一列不相交的二進方體 {Q_j} ，滿足：

（i） ule lambda ， ext{a.e.} x otin igcup_j Q_j ；

（ii） |igcup_j Q_j|lefrac{1}{lambda}Vert uVert_{L^1(mathbb R^n)} ；

（iii） lambda<u_{Q_j}le 2^nlambda 。

【五】奇異積分運算元

對於卷積型奇異積分運算元，利用 Calderón–Zygmund 分解與 H?rmander 條件，可驗證其為弱 (1,1) 型，再由有界性條件可驗證其為強 (2,2) 型，於是根據運算元插值理論可知其為強 (p,p) 型（ 1< ple 2 ），最後利用共軛運算元性質可知其為強 (p,p) 型（ p>2 ）。

對於非卷積型奇異積分運算元（C-Z運算元），利用 Calderón–Zygmund 分解與 H?rmander 條件1，可驗證其為弱 (1,1) 型，再由有界性條件可知其為強 (2,2) 型，於是根據運算元插值理論可知其為強 (p,p) 型（ 1< ple 2 ），最後由 H?rmander 條件2 以及可知共軛運算元性質可知其為強 (p,p) 型（ p>2 ）。

1. 卷積奇異積分運算元

設 Kin L^1_{ ext{loc}}(mathbb R^nackslash{0})subset{cal S}(mathbb R^n) ，滿足：

（i）（有界性） |hat K(xi)|le A ；

（ii）（H?rmander 條件） int_{|x|>2|y|} |K(x-y)-K(x)| mathrm{d}xle B ， forall yin mathbb R^n ，

則稱 K 為卷積奇異積分運算元： Ku:=Kast u 。其為 {cal S}(mathbb R^n) 到 {cal E}(mathbb R^n) 的線性運算元。

註：「 |D K(x)|lefrac{C}{|x|^{n+1}} ， forall x e 0 」 Rightarrow 「H?rmander 條件」。

例（Riesz 變換）： R_j:=c_n ext{p.v.} frac{x_j}{|x|^{n+1}} （ 1le jle n ）為卷積奇異積分運算元，稱為 Riesz 變換。其中， langle R_j,u angle:= c_nlim_{varepsilon ightarrow 0^+} int_{|x|>varepsilon}frac{x_j}{|x|^{n+1}}u(x) mathrm{d}x ， forall uin {cal S}(mathbb R^n) 。以及有卷積公式： R_jast u=c_nlim_{varepsilon ightarrow 0^+} int_{|y|>varepsilon}frac{y_j}{|y|^{n+1}}u(x-y) mathrm{d}y ， forall uin {cal S}(mathbb R^n) 。

  • 運算元插值理論的應用

線性運算元 K 滿足：

（i） K 為弱 (1,1) 型；

（ii）K 為強 (p,p) 型（ 1<P> ）。</P><P></P><P><b>2. C–Z 奇異積分運算元</b></P><P>設 <img src= ，滿足：

（i）（有界性） T 為強 (2,2) 型；

（ii）（H?rmander 條件） left{ egin{aligned} &int_{|x-y|>2|y-z|}|K(x,y)-K(x,z)| mathrm{d}xle C \ &int_{|x-y|>2|x-w|}|K(x,y)-K(w,y)| mathrm{d}yle C \ end{aligned}<br /> ight. ，

則稱 K 為 C–Z 奇異積分運算元：當 uin L^2_c(mathbb R^n) 時，Ku:=int_{mathbb R^n}K(x,y)u(y) mathrm{d}y,x otin ext{supp} u 。其為 L^2(mathbb R^n) 到 L^2(mathbb R^n) 的線性運算元。

  • 運算元插值理論的應用

線性運算元 K 滿足：

（i） K 為弱 (1,1) 型；

（ii）K 為強 (p,p) 型（ 1<P> ）。</P><br /><span style= 推薦閱讀：

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