行列式及線性方程組的求解

行列式的定義與性質

對於方陣

$A={a_{ij}}=egin{bmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\ vdots & ddots & vdots\ a_{n1} & ... & a_{nn} end{bmatrix},$

定義它的行列式為

$detA=|A|=egin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\ vdots & ddots & vdots\ a_{n1} & ... & a_{nn} end{vmatrix}=sum_{p_1...p_n ext{取}1...n ext{所有可能的排列}}sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}.$

式中

$sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}=egin{cases} 1&p_1...p_n ext{為偶排列}\ -1&p_1...p_n ext{為奇排列} end{cases}.$

行列式的主要性質:

若兩矩陣互為轉置矩陣,則它們的行列式相等.
互換行列式的兩行或兩列,行列式取負值.
若行列式有兩行或兩列相等,則行列式取0值.
若行列式某一行或某一列變為原來的倍,而其餘的部分保持不變,則行列式的值變為原來的倍.
若行列式有兩行或兩列對應成比例,則行列式的值取0.
若 $A=[m{a}_1,...,m{a}_i,...,m{a}_n],$ $B=[m{a}_1,...,m{b}_i,...,m{a}_n],$ $C=[m{a}_1,...,m{a}_i+m{b}_i,...,m{a}_n]$ , 則
若 $A=[m{a}_1,...,m{a}_i,...,m{a}_n]$ , $B=[m{a}_1,...,m{a}_i+sum_{j eq{i}}lambda_jm{a}_j,...,m{a}_n]$ ,則 .
若 $A=[m{a}_1,...,m{a}_n]$ ,且矢量組 $m{a}_1,...,m{a}_n$ 線性相關,則 .

子行列式與行列式的展開

從行列式中刪除若干行與相同數目的列,所留下來的部分仍然構成一個行列式,稱為子式,常記作 $M_{r_1...r_m,s_1...s_m}$ ,下標表示保留下來的行和列.若 ,則稱為主子式.所刪行與列的交點的元素也構成一個行列式,若將子式記作 ,則這個行列式稱為的餘子式,記作 ,從另一個角度看, 也是原行列式關於的餘子式.將乘上係數 $(-1)^{sum_{j=1}^mr_j+s_j}$ 後得到的值記作或 ,稱為與對應的代數餘子式.

有了代數餘子式的概念後,我們可以將行列式安行展開,設 $A={a_{ij}}$ ,則可以證明:

$detA=sum_{s=1}^na_{rs}A_{rs}=sum_{s=1}^na_{sr}A_{sr},r=1,...,n.$

式中 $A_{sr}$ 為原行列式關於元素 $a_{sr}$ 的代數子行列式.首先我們證明行列式按第一行展開的表達式:

$detA=sum_{s=1}^na_{1s}A_{1s}.$

證明:

寫出行列式的定義式:

$sum_{p_1...p_n}sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$

$=sum_{p_1}a_{1p_1}sum_{p_2...p_n}sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{2p_2}...a_{np_n}=sum_{p_1}a_{1p_1}hat{A}_{1p_1}.$

接下來我們只要證明了對任意的 $p_1in{1,...,n}$ 都有 $hat{A}_{1p_1}=A_{1p_1}$ ,當時,

$hat{A}_{11}=sum_{p_2...p_n}sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ 1&p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{2p_2}...a_{np_n}$

$=(-1)^{2}sum_{p_2...p_n}sgnegin{pmatrix} 2&...&n\ p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{2p_2}...a_{np_n}=A_{11}.$

而對任意的 ,則利用

$sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}$

$=sgnegin{pmatrix} 1&...&p_1&...&n\ p_2&...&p_1&...&p_n end{pmatrix}(-1)^{p_1-1}$

$=(-1)^{p_1-1}sgnegin{pmatrix} 1&...&n\ p_2&...&p_n end{pmatrix}.$

則有

$hat{A}_{1p_1}=sum_{p_2...p_n}sgnegin{pmatrix} 1&2&...&n\ p_1&p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{2p_2}...a_{np_n}$

$=(-1)^{1+p_1}sum_{p_2...p_n}sgnegin{pmatrix} 1&...&n\ p_2&...&p_n end{pmatrix}a_{2p_2}...a_{np_n}=A_{1p_1}$

故對任意的 $p_1in{1,...,n}$ , $hat{A}_{1p_1}=A_{1p_1}$ 成立,從而命題得證.

上面的證明可用同樣的方法擴展到對任意行,任意列的展開,也可以直接使用行列式的性質.

利用行列式的行展開,列展開與行列式的性質可以得到下面三個常用的結論:

將的第行 $m{a}_r$ 替換成 ,則 $detA(m{a}_rlongrightarrowm{x})=sum_{s=1}^nx_sA_{rs}.$ 列同理.
將的第行 $m{a}_r$ 替換成任何其他一行,則所得行列式的值為0,即 $det(m{a}_rlongrightarrowm{a}_t)=sum_{s=1}^na_{ts}A_{rs}=|A|delta_{tr}.$ 列同理.
對於上三角行列式與下三角行列式,其值為對角元素之積.

$detD=egin{vmatrix} d_{11}&&&\ d_{21}&d_{22}&&\ ...&...&...&&\ d_{n1}&...&...&d_{nn} end{vmatrix}=d_{11}d_{22}...d_{nn}.$

特別的,

$det[diag(d_{11},d_{22},...,d_{nn})]=d_{11}d_{22}...d_{nn}.$

矩陣的秩,逆,跡

一個矩陣,它的列矢量的極大無關組中矢量的個數叫做列秩,行矢量的極大無關組中矢量的個數叫做行秩,而它最大的且不等於0的子行列式的階數r叫做它的秩,可以證明,矩陣的行秩等於列秩等於秩,對於矩陣而言,若 ,則稱之為滿秩的.對於的滿秩矩陣,若 ,則全體行矢量線性無關,若 , 則全體列矢量線性無關.

對於非奇異矩陣 ,可以定義矩陣的逆 $A^{-1}$ :

$AA^{-1}=A^{-1}A=I.$

奇異矩陣則無法定義逆.下面介紹四種矩陣求逆的方法.首先是伴隨矩陣法,在伴隨矩陣法中首先要定義一個矩陣的伴隨矩陣 ,我們用 $A_{ij}$ 表示關於元素 $a_{ij}$ 的代數餘子式,則伴隨矩陣定義如下:

$adjA={A_{ij}}^T=egin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{n1} \ ... & ... & ... \ A_{1n} & ... & A_{nn} end{pmatrix}.$

則矩陣的逆用公式

$A^{-1}=frac{adjA}{detA},(A^{-1})_{rs}=frac{A_{sr}}{detA}.$

證明:

已知

$sum_{s=1}^na_{ts}A_{rs}=|A|delta_{tr}.$

而左邊可以寫成

$sum_{s=1}^na_{ts}A_{rs}=sum_{s=1}^na_{ts}(A^T)_{sr}=(AadjA)_{tr}.$

於是得到

兩邊同除並左乘 $A^{-1}$ 得到

$A^{-1}=frac{adjA}{detA}.$

命題得證.

第二種方法是線性變換法,對於非奇異矩陣 ,若能找到非奇異矩陣和 ,使得

這相當於對做了一系列行變換與列變換,則

$A=Q^{-1}P^{-1}.$

兩邊同時求逆便得

$A^{-1}=PQ.$

第三種是利用分塊矩陣求逆,設矩陣寫成分塊形式:

$A=egin{pmatrix} mathcal{A}_{11} & mathcal{A}_{12}\ mathcal{A}_{21} & mathcal{A}_{22} end{pmatrix}.$

則矩陣的逆有分塊形式:

$A^{-1}=egin{pmatrix} (mathcal{A}_{11}-mathcal{A}_{12}mathcal{A}_{22}^{-1}mathcal{A}_{21})^{-1} & -mathcal{A}_{11}^{-1}mathcal{A}_{12}(mathcal{A}_{22}-mathcal{A}_{21}mathcal{A}_{11}^{-1}mathcal{A}_{12})^{-1}\ -mathcal{A}_{22}^{-1}mathcal{A}_{21}(mathcal{A}_{11}-mathcal{A}_{12}mathcal{A}_{22}^{-1}mathcal{A}_{21})^{-1} & (mathcal{A}_{22}-mathcal{A}_{21}mathcal{A}_{11}^{-1}mathcal{A}_{12})^{-1} end{pmatrix}.$

將這個矩陣與求積可以直接驗證之.

最後一種方法是逐步求近法,用於近似計算.設矩陣為近似逆,則定義為

再構造一序列:

$B_k=B_{k-1}(1+R_{k-1}),R_{k}=I-AB_k,k=1,2,...$

則

$B_k=A^{-1}(I-R^{2^k}_0).$

於是當足夠大時, 足夠逼近 $A^{-1}$ .

方陣的跡定義為

$trA=sum_{i}a_{ii}.$

任意個方陣的跡在輪換下不變,首先證明只有兩個矩陣相乘時的情景:

$tr(AB)=sum_{i=1}^mleft(sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji} ight)$ $=sum_{j=1}^nleft(sum_{i=1}^mb_{ji}a_{ij} ight)=tr(BA).$

對於一般情況,只需將一部分記作矩陣另一部分記作矩陣即可.

三種常用行列式

第一種是Vandermonde行列式:

$V_n=egin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\ x_1& x_2& ... &x_n\ ...&... & ... &...\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1} end{vmatrix}=prod_{1leq jleq ileq n}(x_i-x_j)$

第二種是Jacobi行列式,設有元變數代換:

求微分得:

$domega_i=sum_{k=1}^nfrac{partialomega_i}{partial{v}_k}dv_k,i=1,...,n.$

其係數矩陣的行列式便是Jacobi行列式:

$J=frac{partial(omega_1,...,omega_n)}{partial(v_1,...,v_n)}=detleft(frac{partial{omega_i}}{partial v_k} ight)$

$=egin{vmatrix} frac{partial{omega_1}}{partial v_1}&...&frac{partial{omega_1}}{partial v_n}\ ...&...&...\ frac{partial{omega_n}}{partial v_1}&...&frac{partial{omega_n}}{partial v_n} end{vmatrix}.$

常用於微分變數變換:

它具有性質:

$frac{partial(omega_1,...,omega_n)}{partial(u_1,...,u_n)}=frac{partial(omega_1,...,omega_n)}{partial(v_1,...,v_n)}frac{partial(v_1,...,v_n)}{partial(u_1,...,u_n)}.$

第三種是行列式,首先有個函數,它們可以求導至階,則有行列式:

$W=egin{vmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \ y_1^prime & y_2^prime & ... & y_n^prime \ ... & ... & ... & ... \ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & ... & y_n^{(n-1)} end{vmatrix}.$