代數數論

在數學中，代數數論是數論的一支，其中我們將「數」的概念延伸，以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數，這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數，並研究一個數域里的代數整數。

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域里的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性(又稱算術基本定理)，這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質--包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數的相關理論等等。

數論中的許多問題可藉由「模p」(其中p是素數)來研究。這種技術導向p進數的構建，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。一般數域上的陳述常與各個局部域上的相應陳述有關，例如哈瑟原理：「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數p之p進數域上有解「。這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。

唯一因子分解和理想類群

代數數域的整數環 $O_{k}$ 的元素的素分解和整數環的素數分解有不同之處，不是每個 $O_{k}$ 的元素都唯一分解。雖然 $O_{k}$ 元素的唯一分解束在某些情況下可能成立，如高斯環，但在其它情況下可能會失敗，如二次域中，6就不是唯一分解：

$O_{k}$ 的理想類群是一個整數環 $O_{k}$ 的元素是否唯一因子分解的度量，特別是當整數環 $O_{k}$ 理想類群是平凡群時，當且僅當為唯一分解整環。0的唯一因子分解和 $O_{k}$ 素理想間關係。

$O_{k}$ 元素的唯一分解可能成立：這時 $O_{k}$ 的理想的唯一分解成素理想(即它是一個戴德金整環)。這使得在研究 $O_{k}$ 的素理想尤其重要。從另方面，從整數環更改為代數數域的整數環 $O_{k}$ 後，整數環中素數就能生成素理想（其實，的每一個素理想的形式是：）可同一素數在中可能不再生成素理想，例如，在高斯整環中，理想不再是素理想：

$2Zleft[ i ight]=((1+i)Zleft[ i ight])^{2}.$

但理想是一個素理想。高斯整環唯一因子分解完整的答案使用費馬大定理，其結果為：

is a prime ideal if

is not a prime ideal if

得出這種簡單的結果對更一般的整數環來說是代數數論的基本問題。當代數數域是有理數的阿貝爾擴張時（即有交換伽羅瓦群的擴張）類域論實現了這一目標。

素元和素點

(根據類域論，因為有理域時 $O_{k}$ 才有唯一分解，以下，注意有理域和有理數域不同，實域和實數域不同）

在 $O_{k}$ 素理想的概念的一個重要的推廣是理想論，也叫賦值論，這兩種方法之間的關係如下：

運算為通常的絕對值函數，映射有理域實域的，令絕對值函數 $left| cdot ight|_{p}$ ：定義稱為 p-adic絕對賦值，中的素數。由奧斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic絕對賦值對是等價類，p-adic絕對賦值可看成類似通常素數。更普遍的，代數數域的絕對賦值稱為一個素點。中素元分兩類：像p-adic絕對賦值 $left| cdot ight|_{p}$ 這種等價類是有限的，被稱為有限素元（有限素點）。而通過復域的模方式定義的素元可看成復域一個無限子集，被稱為無限素元（或無限素點）。因此，一般表示的素元集合為，在這種情況下 $left| cdot ight|_{infty}$ 是有理域的素元（素點）。

的無限素元可有嵌入同態（即非零的環同態，從到）。具體來說，可把嵌入分成兩個不相交的子集，那些像在中算一個子集 $S_{1}$ ，其餘的為另一個子集 $S_{2}$ 。 $S_{1}$ 的每個嵌入，對應唯一一個和通常絕對值一樣的絕對賦值；這種方式產生的一個素元的被稱為一個實素元（或實素點）。 $S_{2}$ 的一個嵌入是不包含在中的像，可以形成另一個唯一的嵌入，稱為共軛嵌入，組成的復共軛映射為的。而此絕對賦值為複數的模：這樣的素元叫一個復素元（或復素點）。這樣無限素元的集合的描述如下：每個無限素元對應到一個唯一的嵌入或一對共軛嵌入。實素點素數表示為 $r_{1}$ ，復素點表示為 $r_{2}$ ，嵌入的總數為 $r_{1}+2r_{2}$ ，（事實上，等於的擴張次數：）。

單位

算術基本定理說明環的乘法結構為：每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和乘。這對 $O_{k}$ 的理想的唯一分解對一部分理想正確，不能全正確是因為，因為整數和是環的可逆元素（即單位，兩者組成一個乘法群叫單位群，記為 $Z^{x}$ ，是個2階循環群）。更普遍的是，在 $O_{k}$ 的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群，記為 $O^{x}$ ，群素元稱為 $O_{k}$ 的單位，這個群比2階循環群 $Z_{x}$ 階大。由狄利克雷單位定理可得：單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式：

$O_{k}simeq Z^{oplus r}oplus$ (有限循環群)

有限循環群即為的單位群 $O^{x}$ 。 $O_{k}$ 單元群的階大小， $O_{k}$ 的格結構，在類數公式可以看出。

局部域

主條目：局部域

在素點對數域完備化給出了一個完全域。如果賦值是阿基米德賦值，得到或，都是完全域。如果非阿基米德賦值，則是有理素元的離散賦值，得到有限擴張 $K_{w}/Q_{p}$ ：這離散賦值域也是一個完全域，且是有限剩餘域。

局部方法簡化了域的算術，能局部研究問題。例如克羅克韋伯定理，可以輕鬆地從局部狀態進行。局部域的研究背後的哲學，主要是出於幾何方法。在代數幾何，可通過對極大理想的點集局部化的變數研究入手。而全局信息，可通過局部化綜合在一起得出。在代數數論，局部研究問題是主要方法之一，通過在數域代數中對整數環的素元入手，再對分式域研究得出全局信息。

主要結果

理想類群階的有限性問題。代數數論一個經典結論是：代數數域的理想類群階有限。理想類群階大小叫類群，常記為h。

主條目：狄利克雷單位定理

狄利克雷的單位定理提供了 $O_{k}$ 單位乘群 $O_{x}$ 的結構描述，它指出: $O_{k}simeq Z^{oplus r}oplus$ (finite circle group)其中有限循環群是 $O_{x}$ 的所有單位根組成，且 $r=r_{1}+r_{2}-1$ ，或者說， $O_{k}$ 是階為 $r=r_{1}+r_{2}-1$ 的有限阿貝爾群，且其扭元素由 $O_{x}$ 的所有單位組成。