數論中那些個著名的猜想

數學史上，歷經數十年甚至幾百年長期未能解決、費勁九牛二虎之力才解決的數學猜想特別的多，存在於數學的不同方向領域。在這些世界級的數學難題中，數論方面的問題佔據多數。數論中的這些猜想，不像其他數學分支那樣需要很多的背景知識，它們看上去是那麼的淺顯，乃至初中生甚至高年級的小學生也能讀懂命題，但是千萬不要被它「憨厚的外表」所蒙蔽了，要解決這些數學問題，非得有深厚的數學功底才能揭開其神秘面紗。接下來就講述一些歷史上的數論猜想。

被證明的猜想

費馬大定理：古希臘數學家丟番圖所著的《算術》一書中，收錄了一個不定方程

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$

丟番圖給出了該不定方程的一組正整數解 $x=2mn\y=m^2-n^2\z=m^2+n^2$ 其中是任意正整數。費爾馬是個「不務正業」的業餘數學家，他的本職工作是一名法官，在那個年代法官幾乎是無社交生活的，他的大部分精力都花費在了鑽研數學和物理問題上了。在閱讀《算術》的這個命題時，他搞了一個跨世紀、跨時空的惡作劇，他在旁邊寫了一段話：「將一個立方數分為兩個立方數的和，一個四次方數分為兩個四次方數的和，或者一般地將一個n次方數分為兩個同次方數的和，這是不可能的。關於此，我確信已找到了一個真正奇妙的證明，可惜這兒的空白太小，寫不下。」

費爾馬死後，他的兒子整理了所有遺留的書稿，未能發現絕妙的證明。在此後的300多年裡，大量的數學家關注到該問題，包括歐拉、狄里赫萊、拉梅、庫默爾、法爾廷斯等人做出了大量有意義的工作，除了推動費爾馬問題的解決之外，所創造的方法也推動了數學的發展。終於，1995年5月，數學雜誌普林斯頓《數學年刊》發表了數學論文，困擾數學界350多年的費爾馬問題，被英國數學家安德魯·懷爾斯所證明。

素數個數的猜想，關於素數個數是無限的猜想，早在歐幾里得之前就有人尋找答案。歐幾里得在《幾何原本》中設計了一個絕妙的證明。他的思路不是求任一已知的素數後面緊跟的那個素數，而是用某一個大得多的素數去替代後面的下一個素數：令p為任一素數，作出由2到p的全部素數的乘積再加1,寫成顯然，素數2、3、5、···、p中沒有一個可以整除N。因此，N或者本身就是素數，或者N的全部素因子都不同於2、3、5、···、p，且大於p。

還有一個關於圓周率的無理性的猜想，關於圓周率會專門寫一篇文章來介紹。

仍未被證明的猜想

1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，發表猜想：大於5的任何自然數可寫成3個素數的和。不久後歐拉回信：任一大於4的偶數，都是兩個素數的和。該猜想直至19世紀結束，沒有任何的進展。到20世紀初，哥德巴赫猜想被希爾伯特列到著名的23個難題之中。之後，各國的數學家嘗試研究了弱型哥德巴赫猜想和因數哥德巴赫猜想問題。所謂弱型就是，把自然數寫成素數之和 $N=p_{1}+p_{2}+cdots+p_{k}$ 其中越小越好，如果對偶數證明，那麼哥猜就解決了。目前為止，旺格漢1976年證明，每個充分大的偶數可表示為至多6個素數的和。我國張明堯於1983年證明，所有正整數可表示為至多24個素數之和。而對於因數哥猜問題，先將偶數寫成兩個自然數之和 $N=n_{1}+n_{2}$ 而這兩個自然數的素因數個數分別不超過a個和b個，簡記為「a+b」。目前成果最好的就是陳景潤1973年證明的「1+2」。

孿生素數猜想，在素數序列中常常遇到一對相鄰即是奇數，又是素數的數，比如3和5,5和7,11和13等這樣的數對。經過長期的積累，已經發現了很多的孿生素數對，只是發現隨著數字變大，孿生素數也越來越稀疏。孿生素數猜想就是這樣的素數對應該是無窮多。

墨森尼素數猜想，具有 $M_{p}=2^{p}-1$ 形式的素數，稱為墨森尼素數，其中p是另外一個素數。猜想便是：墨森尼素數是否是無限個？目前發現的墨森尼素數記錄一直在刷新中，只是從第13個開始，都是藉助計算機發現的。

黎曼猜想：1800年高斯和勒讓德提出了一個重要的猜想，即「對於大x值，小於x的素數的個數近似地等於 $frac{x}{lg x}$ 該猜想，50年間毫無進展，直至1859年，黎曼的「論小於給定數的素數個數」的著名論文，指明了攻關策略，論文中認為素數的分布與複數函數 $S(s)=1+frac{1}{2^{s}}+frac{1}{3^{s}}+frac{1}{4^{s}}+cdots\ s=u+iv$ 的零點有關。黎曼猜想這樣的零點，實部都等於二分之一。在黎曼論文的基礎上，高斯-勒讓德猜想於1896年被證明，稱為素數定理。但黎曼猜想仍然懸而未解！

其他的一些著名猜想，比如奇完全數猜想、角谷猜想、迴文數猜想等等，有興趣的愛好者可以搜集一下相關資料。

被反例否定的猜想

費爾馬猜想：由 $egin{aligned} 2^{2^0}+1&=3\ 2^{2^1}+1&=5\ 2^{2^2}+1&=17\ 2^{2^3}+1&=257\ 2^{2^4}+1&=65537 end{aligned}$ 都是素數，費爾馬於1640年提出猜想，能寫成形如 $2^{2^n}+1$ 的數都是素數，其中n為非負整數(這類數被稱為費爾馬數)。直到1732年，大數學家歐拉給出一個反例 $2^{2^5}+1=641 imes 6700417$ 否定了猜想，這個反例看上去好像也不難給出。在這之後，又有人給出多個反例。目前人們的視線轉向了一個新的猜想：只有有限個費爾馬數是素數，至今還未有定論。

6n+1與6n-1型數對的猜想：迪布凡耳在1509年，注意到6n+1與6n-1的數對，提出，對於任何自然數n,6n-1和6n+1這兩個數中都至少有一個是素數的猜想。只是猜想不久，便有人給出了反例，n=20時就不成立。一般地，取猜想均不成立。

因式係數猜想：契巴塔廖夫由因式分解 $egin{aligned} x-1&=x-1\ x^{2}-1&=(x-1)(x+1)\ cdots\ x^{6}-1&=(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)\ cdots end{aligned}$ 猜想，把分解為不可再分解的具有整係數的因式以後，各係數的絕對值都不超過1。該猜想也是由伊萬諾夫給出的反例，從而否定了猜想。