如何通俗地理解協方差和相關係數？
1 正相關與負相關
1.1 相關性
事物之間可能會有關係，這可以通過數據看出。比如要買房的人越多（下圖的城鎮化率可以簡單理解為進城買房的人數），房價就越高，兩者的關係稱為 正相關 ：
城鎮化有另外一個反作用，降低出生率。城鎮化和出生率之間的關係就是 負相關 ，也就是說城鎮化率越高、出生率會越低，所以說，「城鎮化是最好的避孕藥」：
1.2 股票組合
在現實生活中了解相關性是很有用處的，比如下面有三支股票，年度收益都是 ：
可以看到藍色、綠色這兩隻股票走勢基本一致，也就是這兩者正相關；而藍色、紅色走勢相反，藍色上漲的時候紅色下跌，也就是這兩者負相關。基金經理會傾向於把負相關的兩支股票做成一個組合，這樣收益率也還是 ，但是整個組合波動會很小，整體看上去平穩上升。
這種相關性可以通過下面要介紹的 協方差 和 相關係數 來表示和計算。
2 矩形的面積
2.1 顏色
假設有兩個隨機變數，身高 和體重
，很顯然這兩者應該是正相關的，也就是說身高增加體重也會隨著增加。
但是怎麼通過數學來表達呢？我們來看一個例子，下面是某班同學的身高體重：
這兩個隨機變數可以構成二維平面上的點 ，可以把它們畫在直角坐標繫上。我們先畫出表中的前兩個點：
很顯然，相對於第一個點 而言，第二個點
橫坐標增加了，同時縱坐標也增加了；也就是說第二個點代表的同學，身高增加了的同時體重也增加了，這兩個點是正相關的，我們在兩者之間畫一個紅色的矩形表示這兩者是正相關的關係：
現在加入第三個點 ，這位同學可能比較瘦高，他和第一、第二位同學負相關，用藍色的矩形來表示：
接著增加第四個點 ，它和前面三個點都是正相關；最後增加第五個點
，它和去前面四個點全是正相關。所以這些矩形全是紅色的：
畫完之後整體看上去是紅色的，這說明 、
這兩個隨機變數整體上是正相關的關係，雖然其中間雜著兩個藍色的矩形。
2.2 面積
從圖形上可以看出紅色有優勢，說明是正相關。下面來看看如何通過代數計算出這個結果。從第一個紅色矩形開始：
可以算出這個紅色矩形的面積為正：
而某個藍色矩形：
它的「面積」為負：
所以把所有的矩形的「面積」加起來，如果為正那麼說明就是紅色矩形佔優勢，也就是正相關；反之則是負相關；為0的話說明哪個都不佔優勢，則是不相關。就這裡的具體問題而言，很顯然紅色更佔優勢，所以算出來為正（總共有 個矩形），是正相關。
2.3 一般化
如果有 個點的話，可以用：
來表示組成矩形的兩個頂點，那麼所有矩形的面積的和就可以表示為：
那麼：
3 協方差
可以看出要計算面積還是挺麻煩的，數學家給出了一個簡化的方案。
3.1 簡化
按照剛才的計算方法，比如說某一個點 ，需要和所有的
配對，然後計算出得到的矩形的面積和。數學家就想用
的均值也就是期望
來代替所有的
，以及用
的均值也就是期望
來代替所有的
：
這樣之前的面積計算公式就從：
變為了：
如此，計算就被大大簡化了。下面用這種方法重新算下剛才的例子。
3.2 具體的例子
首先以 為原點，構建一個直角坐標系坐標系，它會把平面分為4個象限：
容易知道，一、三象限的點和 正相關，而二、四象限的點和
負相關。所以在一、三象限中各選一個點，它們和
構成的矩形是紅色的：
在第四個象限中有一個點，它和 構成的矩形是藍色的：
把所有矩形都畫出來的話（總共只有5個矩形，按照上節給出的演算法總共需要畫10個矩形，可見現有演算法確實大大簡化了，點越多簡化的效果越好），可以看到還是紅色佔優，因此總體來看 、
依然是正相關的：
3.3 協方差
還要考慮一點，每個點的概率是不一樣的，因此各個矩形的面積並非是平等的，或者說權重是不一樣的，所以需要對面積和進行加權平均，也就是對面積和計算數學期望，這就得到了：
設
是一個二維隨機變數，若
存在，則稱此數學期望為
與
的 協方差（Covariant），記作：
![Cov(X,Y)=EBig[(X-mu_X)(Y-mu_Y)Big]]()
特別地有
。
很顯然會有：
時，
、
正相關，即兩者有同時增加或者減少的傾向
時，
、
負相關，即兩者有反向增加或者減少的傾向
時，
、
不相關
4 相關係數
之前求出來的協方差是有單位的，比如身高 （單位：厘米）與體重
（單位：公斤）的協方差
的單位是：厘米
公斤。
假如又有一個隨機變數，同學的年齡 （單位：歲），它和體重的協方差
的單位為：歲
公斤。那麼到底體重與身高更正相關，還是體重與歲數更正相關？，因為單位的原因導致我們沒有辦法進行比較，所以：
對於二維隨機變數
則：，各自的方差為：
稱為隨機變數
和
的 相關係數 。
之前介紹過標準差是有單位的，比如剛才舉的例子身高 （單位：厘米）、體重
（單位：公斤）以及年齡
（單位：歲），相除之後：
單位就約掉了，變成沒有單位的數了，就可以進行比較了。比如剛才提到的身高 ，體重
以及年齡
，假如說根據數據算出來：
馬上可以知道相對於年齡，身高與體重之間的正相關關係更強烈。
5 線性相關
「正相關」或者「負相關」實際指的是 和
之間線性相關（此處證明省略了，對推導感興趣的可以參加我們的課程《概率論與數理統計》）：
和
除了「線性相關」之外，其實還可能是別的關係（下圖標出了相關係數，當相關係數不為0時，也就是說「正相關」或「負相關」時，在圖中都或多或少地呈現線性關係；當不具備線性關係時，比如說W形、圓圈形等，相關係數為0）：
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