不同坐标系下基矢量的关系

我们要找出不同坐标系间其基矢量的关系，其维度一般是二维和三维空间，坐标系也基本上是极坐标系、柱坐标系、球坐标系，以及最基本的直角坐标系，因此主要导出这几类关系，其它维度和坐标系可以做类似推导，不予证明了.

二维空间：直角坐标系与极坐标系

我们知道二者有关系： $egin{cases} x=rcos heta \ y=rsin heta end{cases}$ ，坐标为 的任意点的位置矢量是： .

协变基矢量定义：

$g_{i}=frac{partial vec{R}}{partial x^{i}}$

协变基矢量单位化：

$g_{i}^{(1)}=frac{g_{i}}{sqrt{g_{ii}}}$

因为并非所以协变基矢量都是单位长.因此我们有下列关系：

$g_{1}^{(1)}=g_{1}=hat{r}=frac{partial vec{R}}{partial r}=cos hetahat{x}+sin hetahat{y}$

$g_{2}^{(1)}=frac{g_{2}}{sqrt{g_{22}}}=hat{ heta}=frac{partial vec{R}}{partial heta}frac{1}{r}=-sin hetahat{x}+cos hetahat{y}$

$Rightarrow egin{cases} hat{r}=cos hetahat{x}+sin hetahat{y}\ hat{ heta}=-sin hetahat{x}+cos hetahat{y} end{cases}$

用矩阵的形式表示： $left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{cc} cos heta &sin heta \ -sin heta &cos heta \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]$

其中我们知道上述等式的系数矩阵是正交矩阵，且行列式为 1，显然这个矩阵属于 群，因此我们根据正交矩阵定义可知道： $A^{T}A=AA^{T}=I$ .

从而其系数矩阵的逆即为转置: $A^{T}=A^{-1}$ ，用矩阵 表示其系数矩阵，所以可推出直角坐标的基矢量由极坐标的基矢量表述形式，即： $left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]= A^{-1} left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]$

已知 $A^{-1}=A^{T}=left[ egin{array}{cc} cos heta &-sin heta \ sin heta &cos heta \ end{array} ight]$ ,从而有：

$left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{cc} cos heta &-sin heta \ sin heta &cos heta \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]$ $Rightarrow egin{cases} hat{x}=cos hetahat{r}-sin hetahat{ heta}\ hat{y}=sin hetahat{r}+cos hetahat{ heta} end{cases}$

三维空间：空间直角坐标系与球坐标系

类比于二维，我们有： $egin{cases} x=rsin heta cosphi \ y=rsin heta sinphi \ z=rcos heta end{cases}$ ,且坐标为 的任意点的位置矢量是：

，从而有：

$g_{1}^{(1)}=g_{1}=hat{r}=frac{partial vec{R}}{partial r}=sin heta cosphihat{x}+sin heta sinphihat{y}+cos hetahat{z}$

$g_{2}^{(1)}=frac{g_{2}}{sqrt{g_{22}}}=hat{ heta}=frac{partial vec{R}}{partial heta}frac{1}{r}=cos heta cosphihat{x}+cos heta sinphihat{y}-sin hetahat{z}$

$g_{3}^{(1)}=frac{g_{3}}{sqrt{g_{33}}}=hat{phi}=frac{partial vec{R}}{partial phi}frac{1}{rsin heta}=- sinphihat{x}+cosphihat{y}$

$Rightarrow egin{cases} hat{r}=sin heta cosphihat{x}+sin heta sinphihat{y}+cos hetahat{z}\ hat{ heta}=cos heta cosphihat{x}+cos heta sinphihat{y}-sin hetahat{z}\ hat{phi}=- sinphihat{x}+cosphihat{y} end{cases}$

用矩阵形式表示： $left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ hat{phi} end{array} ight]= left[ egin{array}{ccc} sin heta cosphi &sin heta sinphi &cos heta \ cos heta cosphi &cos heta sinphi &-sin heta \ - sinphi & cosphi&0 end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ hat{z}\ end{array} ight]$

显然可得系数矩阵也属于 群，从而可知道其矩阵为正交矩阵，系数矩阵的逆为其转置，所以有： $left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ hat{z}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{ccc} sin heta cosphi &cos heta cosphi&- sinphi\ sin heta sinphi &cos heta sinphi & cosphi\ cos heta & -sin heta &0 end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ hat{phi}\ end{array} ight]$

$Rightarrow egin{cases} hat{x}=sin heta cosphihat{r}+cos heta cosphihat{ heta}-sinphihat{phi}\ hat{y}=sin heta sinphihat{r}+cos heta sinphihat{ heta}+cosphihat{phi}\ hat{z}=cos heta hat{r}-sin hetahat{ heta}\ end{cases}$