不同坐標系下基矢量的關係

我們要找出不同坐標系間其基矢量的關係，其維度一般是二維和三維空間，坐標系也基本上是極坐標系、柱坐標系、球坐標系，以及最基本的直角坐標系，因此主要導出這幾類關係，其它維度和坐標系可以做類似推導，不予證明瞭.

二維空間：直角坐標系與極坐標系

我們知道二者有關係： $egin{cases} x=rcos heta \ y=rsin heta end{cases}$ ，坐標為 的任意點的位置矢量是： .

協變基矢量定義：

$g_{i}=frac{partial vec{R}}{partial x^{i}}$

協變基矢量單位化：

$g_{i}^{(1)}=frac{g_{i}}{sqrt{g_{ii}}}$

因為並非所以協變基矢量都是單位長.因此我們有下列關係：

$g_{1}^{(1)}=g_{1}=hat{r}=frac{partial vec{R}}{partial r}=cos hetahat{x}+sin hetahat{y}$

$g_{2}^{(1)}=frac{g_{2}}{sqrt{g_{22}}}=hat{ heta}=frac{partial vec{R}}{partial heta}frac{1}{r}=-sin hetahat{x}+cos hetahat{y}$

$Rightarrow egin{cases} hat{r}=cos hetahat{x}+sin hetahat{y}\ hat{ heta}=-sin hetahat{x}+cos hetahat{y} end{cases}$

用矩陣的形式表示： $left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{cc} cos heta &sin heta \ -sin heta &cos heta \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]$

其中我們知道上述等式的係數矩陣是正交矩陣，且行列式為 1，顯然這個矩陣屬於 羣，因此我們根據正交矩陣定義可知道： $A^{T}A=AA^{T}=I$ .

從而其係數矩陣的逆即為轉置: $A^{T}=A^{-1}$ ，用矩陣 表示其係數矩陣，所以可推出直角坐標的基矢量由極坐標的基矢量表述形式，即： $left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]= A^{-1} left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]$

已知 $A^{-1}=A^{T}=left[ egin{array}{cc} cos heta &-sin heta \ sin heta &cos heta \ end{array} ight]$ ,從而有：

$left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{cc} cos heta &-sin heta \ sin heta &cos heta \ end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ end{array} ight]$ $Rightarrow egin{cases} hat{x}=cos hetahat{r}-sin hetahat{ heta}\ hat{y}=sin hetahat{r}+cos hetahat{ heta} end{cases}$

三維空間：空間直角坐標系與球坐標系

類比於二維，我們有： $egin{cases} x=rsin heta cosphi \ y=rsin heta sinphi \ z=rcos heta end{cases}$ ,且坐標為 的任意點的位置矢量是：

，從而有：

$g_{1}^{(1)}=g_{1}=hat{r}=frac{partial vec{R}}{partial r}=sin heta cosphihat{x}+sin heta sinphihat{y}+cos hetahat{z}$

$g_{2}^{(1)}=frac{g_{2}}{sqrt{g_{22}}}=hat{ heta}=frac{partial vec{R}}{partial heta}frac{1}{r}=cos heta cosphihat{x}+cos heta sinphihat{y}-sin hetahat{z}$

$g_{3}^{(1)}=frac{g_{3}}{sqrt{g_{33}}}=hat{phi}=frac{partial vec{R}}{partial phi}frac{1}{rsin heta}=- sinphihat{x}+cosphihat{y}$

$Rightarrow egin{cases} hat{r}=sin heta cosphihat{x}+sin heta sinphihat{y}+cos hetahat{z}\ hat{ heta}=cos heta cosphihat{x}+cos heta sinphihat{y}-sin hetahat{z}\ hat{phi}=- sinphihat{x}+cosphihat{y} end{cases}$

用矩陣形式表示： $left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ hat{phi} end{array} ight]= left[ egin{array}{ccc} sin heta cosphi &sin heta sinphi &cos heta \ cos heta cosphi &cos heta sinphi &-sin heta \ - sinphi & cosphi&0 end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ hat{z}\ end{array} ight]$

顯然可得係數矩陣也屬於 羣，從而可知道其矩陣為正交矩陣，係數矩陣的逆為其轉置，所以有： $left[ egin{array}{c} hat{x} \ hat{y}\ hat{z}\ end{array} ight]= left[ egin{array}{ccc} sin heta cosphi &cos heta cosphi&- sinphi\ sin heta sinphi &cos heta sinphi & cosphi\ cos heta & -sin heta &0 end{array} ight] left[ egin{array}{c} hat{r} \ hat{ heta}\ hat{phi}\ end{array} ight]$

$Rightarrow egin{cases} hat{x}=sin heta cosphihat{r}+cos heta cosphihat{ heta}-sinphihat{phi}\ hat{y}=sin heta sinphihat{r}+cos heta sinphihat{ heta}+cosphihat{phi}\ hat{z}=cos heta hat{r}-sin hetahat{ heta}\ end{cases}$