複數為什麼不用向量代替？
既然複數可以用二維向量表示，那麼其意義何在
難道只有我覺得能夠用矩陣（matrix）來表示會更好嗎？？？？（並不是說向量不可以）
即 (用線性刻畫的方法來看)
（下面所討論的 ）
首先來聲明我一個觀點（略微廢話，下面兩段可以忽略）：像向量、矩陣，還是什麼加減乘除、集合、還是blabla。。。以上都是一種表示（presentation）。（貼我一個回答：
矩陣乘法的本質是什麼？?www.zhihu.com
）
什麼意思？就是說，向量、矩陣，它可以作為一種很好的表示來表達一些具有線性性質的抽象對象。（像又比如代數中，羣、環、域、格、代數都是集合，但是在集合上的賦予的性質不一樣所以就表現出不同的性質，正所謂：江湖本無路，有了腿纔有了路；數學本是集合，有了結構便有了代數~）
所以在考慮這種表示的時候，還是需要考慮「向量」之間應該賦予怎樣的運算。
譬如對於複數的四則運算：
當然，對於常規的向量定義：線性加減、數乘、向量積、外積、張量積之類的，那肯定就對第三第四條不滿足，若是額外添加定義， 以及其逆運算
那肯定就滿足了唄。。。。
但這樣明顯就冗餘了。因為額外需要添加很多定義。
咱們要想著：儘可能用現成的東西去表達所瞭解的事物。
就會發現用矩陣 來表示（且計算為常規的矩陣計算，不需要額外添加定義），能發現（對於加減法顯然，所以就不證明瞭，就來寫寫乘除法的過程）
譬如第三條：
對於第四條，首先我就不計算22矩陣的逆是什麼樣子了
於是乎，對於第四條顯然就有
同樣，對於複數的模，可以算其行列式（determinant）。對於共軛，就令斜對角元素全部乘-1即可。
咱們並看不到真正的複數長什麼樣子，但是又發現，複數卻可以由兩個「自由量」所決定。所以，乾脆就將其視為兩條「實」線所交織而成的 再對局部加上個映射
。
如果非要用線性來表示，我覺得矩陣+矩陣運算（結構）是比較好的表達方式
至於如何想到用矩陣呢
首先，複平面上的一個點
可以用極坐標來表示成 先從正規的向量來看（落在單位元上的點），點與點之間的作用正好滿足旋轉變換的運算，因為
這時，考慮旋轉變換
正好可以用來表示模長為1的複數。對於其他的複數，無非就是乘上的「長度」
因為各種結構不完全一樣。
中學時候喜歡把這倆混在一起談，因為那時候沒有涉及更深刻的性質。複數域和二維歐式空間之間確實存在一一對應，但這隻能說明它倆等勢而已。
比如二維向量就沒有除法，如果你非要模仿複數除法的定義給出一個向量的除法，那為啥不用複數呢。
再比如了，n維歐式空間裏的線性結構、拓撲結構在多少維都差不多。
而複數域作為一個域，它的很多性質在維數上是沒法做推廣的。比如四元數體是沒有交換律的，八維的時候要定義可除代數就要捨棄結合律，再往上就沒有可除代數了。
簡單來說就像一對雙胞胎。
小時候長得很像，大家都覺得他們是同一個模子裏刻出來的，還能做到相互冒名頂替。但等長大了，他們去做的是不同領域的工作。他們的老闆要考察他們的工作能力的時候，這倆就天差地遠了。
其實向量這個，複數可以視為實數R上的一個線性空間，此時 複數就叫做一個向量。。。。。
嗚，不過答主的意思估計是複數和通常所說平面向量之間有什麼區別。對於這個問題，前面答主說的很好了，就是結構上有點區別。比如向量是沒有除法之類的。
但是還是想囉嗦幾句，可以這麼說，複數的表示是不唯一的，（比如可以用a+b i，或者複平面上的點，或者一個二元實數對，etc）複數的幾何意義只是人為的主觀解釋，也不具有唯一性。（關於數學知識的主觀性和唯一性，姑且再講的多一點），複數可以用複平面這個幾何模型來描述，同時也可以用一個球面來描述。但是要注意的是！
複平面和球面並不是完全等價的！平面是一個歐式平面幾何，而球面是一個球面幾何！在通俗的說，就是球面和平面表示最簡單的區別就是會多出一個無窮遠點！
歷史上，非歐幾何的發現導致了多種幾何學並存的局面。這完全改變了人們對數學的看法 。歷史上，複數因為沒有實際意義而不被廣泛接受。因為那個時候人們仍然覺得數學是對的意義在於對現實世界的解釋。但歐式幾何在牛頓力學中的應用，黎曼幾何在愛因斯坦廣相的應用，使得對同一個客觀空間而提出的不同幾何理論都被證明是有用的 。數學知識的整理性從此破滅 。幾何也不再是絕對可靠的知識。人們開始認識到，數學終歸還是人類主觀思想的產物，數學知識的正誤只能通過邏輯來判斷。而不是現實意義。
回到正題，把複數視為平面向量只是一種用幾何化方法去理解而已，它賦予了複數直觀的幾何意義。這只是從一個不同的角度去刻畫一個數學對象。但是同時我們要理解到，平面向量並不能完全的刻畫出複數的全部性質，而且複數也還有其他的各種幾何化方法（事實上，用球面比平面更合理，因為球面可以補完無窮遠點那個平面上沒有的元素）。所以，只能說，複數的部分性質可以被平面向量刻畫，但是複數還有很多其他的性質，無法被描述，所以不能被平面向量代替。歸根結底，用平面向量來描述複數只是一個幾何化的解釋而已，是主觀的，不唯一的，既然不唯一，那當然並不能代替複數本身。
因為集合的結構纔是最重要的東西呀，我可以用任意一種東西來表示集合裏的元素，但是元素要滿足我給定的條件以及涉及的映射。
複數和二元向量在加減法的定義上是可以等價的，但是複數乘法卻不等價於向量點乘，而且向量沒有除法。
當然我們通常會選擇形象直觀一些的表示方法，之所以我們用向量來表示，就是因為在加減法時的等價性。如果我們不要點乘了，再在二維向量上定義乘法（a,b）*（c,d）=（ac-bd,ad+bc）同理除法，那麼複數空間與這個新的向量空間就一樣了。
簡單說，複數只和平面向量在幾何上可以等價。三維向量如何用複數表示？以複數做為變數的函數能表示兩個平面中，點與點的對應。向量對此，也無能為力。
二維向量(a,b)代表的y=bx/a這個函數
複數(a,b)那僅僅是個數
複數域的函數，是一個平面到一個平面的映射
這能一樣？
再具體一點
R^n和R^2n能是一個空間？
（i+5，i-6）你認為這是二維向量還是複數呢？收回你的問題吧。
問題題目本身已經蘊含了答案：
複數是數，有大小（模），但沒有方向；
向量除了大小還有方向；
前者是代數集合，後者是向量空間；
複數的實虛軸表示方法只是剛好和二維向量看上去有點像而已，複平面之於複數相當於數軸之於實數，是為了描述複數在集合中的位置，這與描述二維向量的歐式空間有著本質的不同；
如果非要把複數和二維向量對比，就會發現：
向量的旋轉和拉伸（線性變換）是通過兩個向量的加法實現，兩個向量的乘法（點積、叉積）都無法實現向量的旋轉，而且點積運算對向量空間不閉合（兩個向量的點積變成了標量），還要定義一個內積空間來描述。複數域中的任何運算都是封閉的，而且兩個複數做代數乘，可以方便的實現旋轉和拉伸效果。
它們的代數結構有所不同，複數有乘法(i×i=-1，相當於模了一個東西。)
複數域可以看成二維空間加上一個有旋轉含義的 i
抽象地說，複數域是二維空間加上復結構。
複數就是帶上那種特定乘法的向量。想想我們當初是如何嚴格定義複數的。
下面一個匿名用戶的回答是典型的民科，大家小心。
推薦閱讀：
