為什麼 busy 不能接 to do（看描述）？
例如 I am happy to see you。
但 busy 只能是接動名詞，像是 I am busy working.，其中 working 是做什麼成分呢？
Yes, people are more used to seeing 「busy doing」 and not 「busy to do」.
Strangely, it can be explained in Chinese.In 「Im busy to do homework」, 「我很忙去做作業」 我覺得是怪怪的.
But 「Im busy doing homework」, 「我很忙在做作業」 是合情合理的.Also 「Im too busy to do homework」, 「我太忙去做作業」也是通順的。
Actually, right or wrong, some people do say 「Im busy to do…」。Here are the results of Google searches:1. 「Im busy to do」: 64,000 hits;
2. 「Im busy doing」: 107,000 hits;
3. 「Im too busy to do」: 249,000 hits.
In fact, grammatically theres nothing wrong saying 「Im busy to do homework」 with 「to do homework」 as an Infinitive Adverbial Phrase modifying 「busy」 in telling what 「I」 am busy on.
On your second question: 「I am busy working，其中working是做什麼成分呢」?
Here, 「working」 is a Present Participle Adverb modifying the Adjective 「busy」 in describing what 「I」 am 「busy」 on.
不要死記硬背，語法只和語義表達有關。
to do 強調時間的先後性，doing強調同時性。
that』s all.
busy doing 我忙於做某事
「忙於」這個動詞的必要前提就是我正在做什麼，才會「忙於」對不對？
所以是busy doing
但是busy to do在語義的精確表達上就很怪異：
我很忙是因為我將要去做點什麼....別人會疑惑：那你現在在幹嘛？你很忙和你將要做什麼有什麼邏輯關係？
busy to do不好，因為表達的意思很擰巴。
working作狀語，表示我伴隨著working的狀態很busy，可以理解為我忙於工作。
假設有be busy to do，to do表示要去做的事或者目的是要做某事。這個意思就會變成「忙著要去做某事」。但「你還沒開始做的事讓你很忙」？邏輯上是不是有點不對。
有的形容詞做表語時，語義不夠完整，需要額外的補足語，傳統語法稱之為形容詞狀語。不管是哪種解釋，其都是補充修飾形容詞，與形容詞一起作完整語義的表語，而不是修飾系表結構。
能充當形容詞補足語的一般是介詞短語、不定式和從句三種結構。有的形容詞只使用介詞短語結構作補足語，有的只使用不定式，而有的則都可以。
She is afraid of failing.
She is afraid to make a mistake.She is afraid (that) she might fail.
用介詞短語結構作補足語的形容詞，往往傾向使用固定搭配的介詞。busy就一般固定搭配in和with：busy in doing sth / busy with sth。而此處的介詞in可以省略，所以並不是busy只能接動名詞，而是接省略了in的介詞短語。我印象中作形容詞補足語能省略掉介詞的還有一個be late (in) doing sth，歡迎補充。
至於為什麼不用be busy to do，而用be busy (in) doing的問題，最簡單的答案就是固定搭配，非要解釋的話我個人認為這是由語義決定的。busy需要補足的是"哪方面"，即方面狀語，常用at、in介詞短語；又或者補足"什麼目標或對象"，常用with介詞短語。而不定式雖然有時候也可用來表示方面，但是句子的主語一般是不定式的賓語，而不是不定式的主語：
He is difficult to work with.
The coffee is bitter to taste.
另外，除了你提問的這個省略介詞in造成的混淆，還有幾種容易造成的混淆：
- 存在形式主語It時，表語形容詞後的結構其實是主語，而不是補足語：
It is no use/point doing sth. = Doing sth is no use/point. 此時的doing前不可加介詞in。
There is no use/point (in) doing sth. 介詞短語作形容詞補足語。
2. 現在分詞作時間狀語出現在表語形容詞之後：
Im happy seeing you. = Im happy when/while I am seeing you. 現在分詞短語作時間狀語，修飾整個系表結構。
Im happy to see you. 不定式作形容詞補足語。
此處不定式作主補
不定式與現在分詞的區別
修飾名詞時
現在分詞表示正在做的事
不定式表示將要做的
忙著做什麼呢 做著還是沒做？
非謂語動詞除了動名詞外
其他三種 現分 過分和不定 有些同等重要的意義
字面意思去看
忙著做某事, 是說這件事情是你正忙著做的
To do 去做，還沒做。
你不會對於還沒做的事情忙著。
要表達急於去做某事就要換個說法了。比如in a rush to do, in a hurry to do
看看busy的釋義就清楚了：actively doing something。它強調的就是一個進行的過程。
另外，BE BUSY TO _v在COCA只有6例（可以認為是錯誤），而BE BUSY _v（全是ing）則有1122例。這基本證明前者不符合語法習慣。
另外， @adamlam99 老是習慣用Google來驗證某些說法是不是地道，但事實上使用Google有相當的缺陷，
1，你無法保證來源是否地道（Google本身不負責語法，拼寫錯誤，會將錯誤用法都統計在內）
2；而且它一次只能搜do這一個動詞，但實際上動詞好幾千個你不可能都用Google來搜索；
3，也只能一次搜I AM；was been were也不可能一次搜到；
而COCA將這些缺陷全部補齊
1，COCA材料為作為美國當代原汁主流材料（新聞，書籍，電影劇本，論文，訪談），在語法，地道上比Google要嚴謹得多；
2，COCA的語料庫基本固定，比例一目瞭然；
3，COCA可以正則搜索，搜大寫的BE就可以搜出所有is am are was were been等，搜_v?g就可以搜出所有動詞的ing形式；
im tired to work with you .
im busy to deal work .
句式是be busy doing something不是to do
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