大學數學題中一些迷の操作，怎麼看？

每遇到這種可以驗證是對的，但思路不清不楚又不解釋的步驟，我想死的心都有了，求指點。

我能說這幾個都是思路非常清晰的嗎？

比如n^2-3=(n+√3)(n-√3)，想到只需n-√3＞1就能放縮成＞n+√3＞n是非常自然的事情；又比如對於給定的正整數m顯然n&>m就有2n-m＞n，這些即使在高中題目中也是沒多少技巧的簡單放縮。

真正的迷之操作估計題主還沒有見過→_→

我只能說很多證明極限的題，目的性都是很強的。言下之意就是說在面對這些題的時候我們一般不會直接證明，而是會假設我們需要證明的東西一定是對的，然後想方設法化簡式子，直到我們化簡的結果可以證明結論。這裡分析一下題主的一個例子。

求證

1)人家都告訴你極限是1了，那麼我們肯定需要證明對於都有 .首先合併分式是很自然的事情,於是變成了

2）我們注意到這個形式很煩人不好搞，於是我們想，加入我知道兩個函數 ,而且我知道在一定的情況下始終成立，如果我這個時候可以證明 ,那麼不就說明瞭嗎？這個思路看起來是不言自明的，但是這有一個好處，一般函數相比起函數形式會簡單的多，所以也好操作的多，於是下面開始轉化問題.

3)接下來就是對分式的基本理解了，應該很簡單就可以想到:

首先很明顯

接下來我們化簡一下分母

這裡需要注意的是，我們證明的是的極限，也就是說我們不關心很小的值，只考慮足夠大的 . 於是我自然可以認為 ,此時分母上的 ,分母大的分數反而小，所以

4)現在我知道了當足夠大的情況下，現在我的 ,如果我想讓 ,只需讓就好，於是得證.

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從上面的分析題主可以看出一些極限題大致的風格：

1、嚴格遵守規則，證明過程始終是圍繞著找到

2、常見的套路都是當我們試圖尋找的極限時，找到一個比他形式更簡單的 ,證明即可

3、需要一些不等式技巧，常見的比如上面的分子分母的變形，一般情況下當我們面對的是分式的時候，會需要用到分子分母的變形構造一個比它大的函數，這個函數的形式一定要足夠簡單，比如

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下面是一些我個人學習過程中的心得，希望拿出來給題主打打氣：

題主現在遇到的是數學歷史上的一個意義深遠的轉折，語言的出現標誌著數學正式從我們高中學習的技巧性學科變成了一門嚴謹的證明性學科。同時證明奠定了分析學的基石，是數學中眾多學科比如實分析，複分析，泛函分析的基礎。當時數學天才牛頓-萊布尼茨創造了微積分，雖然在物理學中切瓜砍菜，解決了許多問題，但是還不是一門嚴謹的學科，以至於在第二次數學危機時險些被推翻. 而微積分的嚴格化，也就是極限證明的引入，是另外以柯西為首的一幫數學天才引入的。

上面說這些歷史，就是為了鼓勵題主不要覺得自己做不出來這些題就很垃圾，畢竟現在都被認為是數學物理巨人的牛頓都沒有這個概念.從高中到大學數學的學習是有很多變化，很多人很難適應. 我作為一個高中生有幸接觸到了微積分，在剛開始看這種證明的時候也滿腦子都是wtf...但是後來慢慢多去思考理解之後，發現自己居然神奇的習慣了這種思維，並且能夠回答今天的這個問題. 數學作為最考驗智商的學科，如果輕輕鬆鬆就能被你學會，那豈不是很沒面子？所以題主，繼續去努力思考吧！當你花一整天時間，看上他個三四十題的解法，你就會覺得：嗯我覺得好像有點感覺，應該是有規律的？看上七八十題，你就會發現自己能夠神奇的解決大部分這種題目了，然後看著你做過的題你就會想說：幹！這東西這麼明顯，我當時是TM腦子進水了嗎？怎麼會看不出來呢？等你做了一百多道題，別人問你的時候，你就會說，這不是很自然的思路嗎？