謝邀。

首先要定義怎樣比較無窮集合的大小。有限集合可以用一個自然數來描述大小，那無窮集合呢？

我們注意到，如果兩個有限集合的大小相等，那麼它們一定存在一個一一對應關係，將映射記作 [公式] ，既然是一一對應的，那自然存在逆映射 [公式] . 這樣的映射叫做雙射.

那麼很自然可以把雙射的概念推廣到無窮集合，假設兩個無窮集合之間存在上述雙射，就可以說他們大小一樣，這種等價關係被稱為等勢（定義），記作 [公式] ，並說他們基數（勢）相等.

現在回到問題（暫且默認非負，正負都算的情況可以自然推廣），有理數集合無理數集哪個大？先說結論：無理數大，並且無理數跟實數是等勢的；而有理數跟自然數是等勢的. 把自然數的勢記作 [公式]，並把與之等勢的集合稱為可數集；把實數的勢記作 [公式] ，相應為不可數集. 現在分幾步證明.

第一步：

首先證明有理數和整數等勢，這相當於證明 [公式] 和 [公式] 的二維向量等勢，畢竟有理數都長的形如 [公式] ，一般採用以下映射：

康托爾配對函數

按著箭頭的方向分別對應 [公式] 中的 [公式] .千萬不要想著這樣的映射無窮無盡所以映射不完——只需要任意給定一個有理數，一定有一個相應的自然數；同樣給定自然數，也有唯一對應的有理數. 這樣就滿足的等勢.

第二步：

現在要證明 [公式] 中的實數不是可數集，這裡用到康托爾獨家原創的對角論證法，且看分解：

我們知道，實數可以表示成二進位. 假設實數集可數，那麼就可以用自然數給他們編號寫出一個數列 [公式] （ [公式] ）：

[公式]

此時，選取對角項，取 [公式] ，也就是說把 [公式] 變成 [公式] ， [公式] 變成 [公式] ，這樣組成一個新的數 [公式] ，顯然， [公式] 與 [公式] 中的任意一項總有一位不同，然而 [公式] 是二進位小數所以 [公式] ，這樣就產生了矛盾. 原命題得證.

第三步：

證明 [公式] 中的實數有什麼用呢？因為可以證明 [公式] 與 [公式] 等勢，只需要一個函數 [公式] 就能產生兩者之間的雙射. 所以現在實數的勢也大於自然數了.

第四步：

這時，如果假設無理數是可數的會怎麼樣呢？那麼由於實數是有理數和無理數的並集，兩個可數集的並集是什麼？自然也是可數集，這是因為假如 [公式] 是兩個可數集表示為數列，那麼他們的並自然可以表示為 [公式] ，就又產生了一個可數集，這就與實數的不可數相矛盾了. 所以無理數是不可數的. 而 ZFC 公理下任何無窮集合都包含可數無窮集合作為子集，於是可數集是最小的無窮集，故無理數的勢大於自然數，也就大於了與自然數等勢的有理數.

任務完成.

番外：

現在注意到一點：無窮集合加上任何基數為 [公式] 的集合，基數不會變化，因為無窮集本身就含有一個基數為 [公式] 的子集，兩個 [公式] 相加仍然是 [公式] ，這一點我們上面證明過了. 那麼既然無理數與實數之間只差一個基數為 [公式]的集合，那這兩者之間的基數就該是相同的.

這一點也可以由連續統假設給出：無理數不可數，但不存在介於 [公式] 和 [公式] 之間的基數，所以無理數的基數只能是 [公式] . 不過由於連續統假設和 ZFC 公理是獨立的，所以這一段內容略顯多餘. 即便如此，無理數的例子也可以體現出，連續統假設與 ZFC 公理不矛盾.

全篇涉及的邏輯與假設，沒有經過仔細檢查，只能保證大概思路正確，若有紕漏歡迎指出.

建議去學習一下教材，應該在集合論、實變函數或者測度論之類的書中都會有介紹。

元素個數無窮的時候，討論集合大小用的是「勢」。有限集的勢是零，可列集（包括整數集，有理數集）的勢都叫「阿列夫零」，這是最小的無窮。

無理數的「勢」比有理數的「勢」大。雖然都是無窮，但是無窮也分等級。

要知道如何比較不同集合的「勢」，不然一句都是無窮大，所以都相等就說完了。

弄懂這些最好學習數學教材。

建議重定向問題。

https://www.zhihu.com/answer/912161442

答案是無理數集比有理數集大。

第18期：代數數 vs 超越數，以及康托爾的對角線法（本期比較有難度，學渣退散警告）【數學玄學家Mathologer】_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili?

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b23.tv圖標

建議你去看一本叫從一到無窮大的科普書。

上面有介紹。當然，最好是學術專著，或者是論文。

無理數集大。

有理數集是可數集，無理數集是不可數集。

列表格分子分母對角線排列即可證有理數可數。

而實數是不可數的，假設可數，設列出來的實數是這樣子的，對角線法直接找到不存在表裡的實數，或者是第a個數第b位不同，那麼這個實數至少有一位與上面列出來的實數不同，所以這個實數不在表裡，所以矛盾，實數不可數。

標準答案前面有人回答過了，所有人都會這樣回答的，因為教科書就是這樣寫的。但是，

如果「大小」的本意是問這兩個無窮集合「元素數量」的比較，這樣的回答就不能叫人滿意了。或者說，回答錯誤。

這是由「無窮大」的概念決定的----沒有比它還大的（高等數學對無窮大的定義的白話版）。無窮大是個不確定的數，或者說無窮大不是個數，它只存在於思想中。

首先，既然不是數，怎麼比較大小呢？

其次，如果非要說某個大，那麼小的那一個，還能滿足「無窮大」的定義嗎？大的那一個又「大」了多少呢？

對於「無窮大」，運演算法則不起作用。

無理數集更「大」，有理數集是可數集，無理數集是不可數集。事實上，可數集是無窮集中最「小」的，被記作「阿列夫零」。具體可以參考數學分析教材關於集合的勢的講解。

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