我是高三畢業生，上面是困撓了我一整個高三複習階段的「超綱問題」。答案顯然是肯定的，只是本人數學水平還不夠，不會證明。

希望各位大學的學長學姐們能給一個比較淺顯的證明，謝謝。

首先，這個不是偏微分方程，而是二階線性常微分方程。

根據牛二 [公式] 可知原式等價於：

[公式]

現在令 [公式] 則需求解：

[公式]

兩側同時進行拉氏變換，得：

[公式]

移項，得：

[公式]

現在對等式兩側進行拉氏逆變換，得：

[公式]

現在令 [公式] 則：

[公式]

兩種方法，都要用到高數的知識，至少你要會積分，而且會分離變數，如果會解二階微分方程就更好了。

牛二定律， [公式] ， [公式] ，

[公式]

第一次積分

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

第一類換元，令 [公式] ，剩下的不寫下去了。

二階微分方程的解，參看同濟大學的《高等數學》(第 7 版) 上冊P338-343

寫在前面：這篇文章想更加基於高中生能夠理解的知識進行講解，也會側重於物理的意義進行一定的說明解釋，幫助題主（高中生）理解為什麼胡克定律得到的運動是一個簡諧運動，即 [公式] ?。

若有錯誤，還請各位看官指出糾正。

物理背景

假設我們在一個光滑的平面上有一個小球質量為? [公式] ，連著一個彈簧，該彈簧與牆壁相連（這裡假設彈簧和牆壁距離無限長，就是避免在運動過程中考慮小球與牆壁相撞的過程）。現在假設彈簧的勁度係數為 [公式] ?，我們有胡克定律 [公式] ?，即彈簧對小球的作用力的方向與小球離彈簧自然狀態的點的位移呈反方向。

彈簧自然狀態下的示意圖(設這個點的位置為 x_N) ?

現在是時間 [公式] 時，我們有牛頓第二公式 [公式] ?，可以簡單得到假如小球在位置 [公式] ?的情況下，有? [公式] 可得 [公式] ?，所以得到當前的瞬時加速度 [公式] ?。這時候我們讓時間開始流動，那麼小球就有可能會被這個力 [公式] ?拉動，開始向?力 [公式] 的方向移動，這裡為什麼使用的是可能呢，因為這時候假如小球還有向外的速度 [公式] ，那麼還可能會往外走，所以這裡是"可能"。在這裡，我們簡單假設小球一開始速度? [公式] ，即沒有初速度。

初始時刻，小球在 x 的位置

開始解題

（接下來就是大學的知識了，會簡單略過，原因是首先上了大學會教，其次這僅僅只是一個解題過程。)

這裡我們需要的知識有：微積分的知識（高中的也可以勉強接受）、常微分方程（解題的關鍵知識）、三角函數的基本知識。

眾所周知，瞬時速度其實就是位移的導數，而加速度是速度的導數，所以加速度就是位移的「導導數」，就是我們高中說的二階導數。根據我們的物理背景已經列出了我們的關係—— [公式] ?。

但是這裡有一個問題：在高中的物理中，一般情況下加速度都是恆定的，而我們這裡的加速度卻是變化的，可以從表達式看出與 [公式] ?有關，就是這導致了高中的知識無法解決（推導）出來，而這裡就要用到非高中的知識——常微分方程（接下來不是高中的教學時間，只是簡單地寫一下過程）

既然加速度?是位移的二階導數，我們就可以列得常微分方程有：

[公式]

利用常微分方程關於二階微分方程的解法，可以得到我們的通解：

[公式]

（這裡是不是已經是簡諧運動了呢）

然後我們發現這個解有兩個待定係數 [公式] ?。

現在從我們的物理背景出發，得到兩個條件：

我們在一開始初始時刻 [公式] ?時

條件一：放置這個小球的位置? [公式] 與彈簧的自然狀態的位置? [公式] 的差? [公式] 。

條件二：放置這個小球的初始速度? [公式] （速度就是位移的導數）。

然後就可以列出方程組：

[公式]

最後能再用我們高中的三角函數的化一公式，就能得到位移的一般式 [公式] ?。

額外說明

說一些物理意義：

  • 通過上述的解，我們發現? [公式] ，整個簡諧運動的週期與勁度係數和小球的質量有關。
  • 而我們的? [公式] ，即振幅。它基本上就和我們的參數都有關係，我們這裡就假定初始速度 [公式] ?，就會發現? [公式] ，即一開始小球放置的位置離 [公式] ?的大小，也就是 [公式] 在最開始時刻的大小。
  • 而我們的? [公式] ，即相位差，它也和我們的參數都有關係。

參考資料

  1. 高中知識
  2. 高等數學（同濟大學出版社）
  3. 常微分方程

你可能是想知道為什麼Asin ＋Bcos是唯一通解，為什麼不存在其他形式的解。通過泰勒展開可以證明這個結論。

  1. 通過這個微分方程可以知道，如果方程有解，那麼解一定是無窮階連續可導的；
  2. 給定 f(0) ，f(0)作為初始值，可以寫出解在 x＝0 處的泰勒級數 T；
  3. 使用合適的泰勒餘項公式，證明當n→∞時，泰勒多項式 Tn(f,x) 的餘項 Rn(f,x) →0，這就證明瞭泰勒級數 T 收斂於（等於）我們要找的解;
  4. 比對泰勒級數的係數可以發現，T＝Asin+ Bcos，相應的係數由初始值 f(0) ，f(0)決定；
  5. 假設存在其他解，相同的步驟得出來的泰勒級數是一樣的，因此這些解其實是相同的。

這個不是偏微分啊。。。這個是二階常係數線性方程。如果把加速度理解成對位置的二階導，由牛頓第二定律可得-kx=mx」（x」表示x對時間的二階導）

這個微分方程的解的形式一定是x=Asinwx+Bcoswx。w為角速度，根號下k/m。對上式求導，得到速度表達式。利用初始位移和初速確定A和B。如果拿輔助角合起來就是最一般的簡諧運動方式

F=-kx是靜態力，在動力學方程中，是要考慮動態力也就是ma+kx=F，F是外力，在無阻尼（能量無損耗）的狀態下進行震動時每個時刻受力都平衡。

如果沒有外力的話，m*d2x/dx2+kx=0，這就是為啥要用有sin這種二次求道還是sin的表達式了。exp同理。

你感興趣的話，可以看看離散動力系統的求導，然後再看看連續系統的動力學分析～

重點：

歐拉 博努立方程和牛頓第一定律。

漢密爾頓定理

拉格朗日方程

等效質量 等效剛度

特徵向量與特徵（真）頻率

牛頓第二定律是動力學的基礎，所以光憑這個胡克定律推不出這個結論，還要加上F＝ma，然後通過求解微分方程，可推導出此結論。

這麼厲害的高中生鼓勵一下。

胡克力函數F=-kx

牛頓第二定律 ma=F

加速度a是x的二階微分常微分a=x

組合起來得到常微分方程mx+kx=0

這個屬於二階常係數齊次線性微分方程。在網上搜一下，解法到處都是。

你都知道動力學和運動學的區別了，你肯定能推出來的，我都還不知道這倆的分類

不能計算出來，只能「找」出來，憑藉經驗

但是反過來卻能算出來，從sin函數算出F=-kx可以算出來

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