亞里士多德車輪悖論的正確解釋是什麼？
亞里士多德輪子悖論：似乎表示不同大小的圓周長相等，你發現問題在哪了嗎？
1 亞里士多德的車輪悖論
如下的木頭輪子，可以將它抽象為兩個同心圓，大的表示車輪，小的表示車軸：
假設大圓的半徑為 ，小圓的半徑為
。那麼車輪在水平線上（無滑動地）滾動一圈的話，兩個圓的底部都會平移相同的距離，即大圓的周長
：
想像大圓、小圓上分別塗上了不同顏色的油漆，車輪滾動一圈後，大圓、小圓所接觸的水平線都會被塗滿油漆，並且這兩段水平線的長度都為 ：
也就是說，半徑不同的兩個圓，同步旋轉一圈後，輾過的水平長度都是 ，就常識而言，這個結論非常奇怪。這就是古希臘數學家亞里士多德在《論機械》中提出的車輪悖論：
2 伽利略的思考
1638年出版的《論兩種新科學及其數學演化》中，伽利略在其中提到了如何解釋亞里士多德的車輪悖論：
上面的圖像可能有一點抽象，下面用更容易理解點的方式來解釋下伽利略的思考。我們知道，可用正 邊形去近似圓，
越大，越接近於圓：
因為多邊形和圓的這種關係，所以先來考慮下正六邊形的輪子旋轉，雖然這種輪子在水平路面上肯定不舒服。想像這樣的輪子，大六邊形和小六邊形都塗上了不同顏色的油漆，車輪滾動一圈後，大六邊形底邊所在水平線塗滿了油漆，而小六邊形所在底邊水平線並沒有塗滿：
正十四邊形更像圓了，同樣的，大十四邊形底邊所在水平線塗滿了油漆，而小十四邊形底邊所在水平線並沒有塗滿：
時，正多邊形就是圓了。所以伽利略根據上面的分析，類推得到，大圓底邊所在水平線應該塗滿了油漆；而小圓底邊所在水平線並沒有塗滿油漆：該水平線上，無窮多個點被塗上了油漆，但是點之間有長度非常非常小的間隔，或者稱為長度為無窮小的間隔，是沒有塗上油漆的。所以可用虛線來表示小圓經過的水平線：
也就是說小圓實際上沒有輾過水平上的每一個點，只是輾過了其中的一部分點。這樣，伽利略就回答了亞里士多德的車輪悖論。
3 直線是由點構成的嗎？
1621年，義大利數學家卡瓦列里：
向伽利略請教了這麼一個問題，可以不可以認為線段是由無窮多個、長度為無窮小的點構成的（這個問題如果成立的話，意味著可以通過將點累加起來得到線段的長度，也就是微積分的萌芽。但是承認點有長度也是非常古怪的）：
伽利略也一直在思考類似的問題，他在反覆思考之後，最終從亞里士多德的車輪悖論中得到靈感，說線段是由無窮多個點構成的，而這些點之間夾雜著無窮多個長度為無窮小的空白。按照伽利略的這個設想，既可以保證線段是由點構成的，又可以保證這些點是沒有長度的，還可以保證線段本身是有長度的。
當然不論是卡瓦列里，還是伽利略的假說，都是蘊涵矛盾的。當時人們認為無窮小是非常非常非常小的實數（這個認識是錯誤的，在現代的數學定義中，無窮小是函數，或者是數組，具體的解釋可以查看這裡），那麼無窮多個長度為無窮小的點加起來（卡列瓦里的線段假設），或者無窮多個長度為無窮小的空白加起來（伽利略的線段假設），其長度一定是無窮大。但線段的長度很顯然不是無窮大。
4 滾動與滑動
由於伽利略對無窮小的錯誤認識，所以他對亞里士多德的車輪悖論解釋是錯誤的，下面用物理學的觀點來解釋一下。如果大圓和小圓都是獨立滾動的，那麼都滾動一圈的話，確實大圓應該水平移動 ，而小圓應該水平移動
。
但在悖論中，真正獨立滾動的是大圓，小圓是完全被動運動的。所以，悖論中提到小圓的半徑為 完全是一種誤導，讓你覺得小圓也在獨立滾動。而實際上，小圓是在進行「滾動+滑動」的疊加運動，小圓在水平線上滾動一段距離、滑動一段距離，最終完成了
的平移。
「滾動+滑動」的疊加運動，我們沒有辦法做出圖像，應該有點像剛才伽利略的推理，塗上藍色油漆的部分對應著滾動，沒有塗色的地方對應著滑動：
5 一一對應
拋開物理觀點，還可以從數學角度來品味下這個悖論。在小圓上有無窮多個點，在水平線上也有無窮多個點。根據集合論的觀點，兩個無窮是一樣多的，因此小圓上的點和水平線上的點是一一對應的（為了避免圖像太亂，下面選了幾個點作為示意）：
小圓上的點和水平線上的點重合，這就是「輾過」的數學定義。那麼根據上面的一一對應關係，小圓轉動時，小圓上的每個點都可以找到水平線上一個對應的點與之重合，也就是說，小圓可以輾過水平線上所有的點。也就是說，只觀察點的話，小圓確實輾過了整個水平線。
上面的推斷過程涉及到無窮大的比較，有困惑的同學可以搜索「希爾伯特旅館悖論」進一步的了解。
6 平移
關於亞里士多德的車輪悖論，還有這麼一種解釋：輪子滾動一圈之後，平移了 。作為一個整體，輪子上的每一點都肯定平移了
。
也就是說，大家不要去考慮什麼小圓，不要跟著悖論的思路走，就不會陷入思維陷阱。
7 小結
雖然伽利略、卡瓦列里關於無窮小的思考是錯誤的，但他們的嘗試、彼此之間的爭論是數學發展的推動力。在一代代數學家的努力下，最終微積分才有了嚴格的定義，成為了現代科學的基石。
這個問題相當離譜，離譜就離譜在：
亞里士多德都能想出用n維多邊形去趨近圓這個方式來解決問題，卻沒思考過讓內輪趨向於圓心這個情況——
圓心那個點沒有周長，完全是被拖著走的
更本質的解釋是不同長度的線段中包含的點的個數是相同的，因為你可以建立起一一對應關係。
在這個悖論中，亞里士多德認為「既然線段上的點都是一一對應的，線段的長度就是相等的。」
但點的個數相同並不代表線段長度相等。
就和「整數和有理數的個數一樣多，但他們並不相等」的道理是一樣的。
有點實分析的感覺。
小圓的運動除了滾動還滑動。
https://b23.tv/av73411207
正確解釋就是一個輪子根本不需要轉動，就算是卡死被推著往前走也能碾過任意長的距離。
所以事實就是輪子走過的距離跟轉了多少圈並沒有必然的聯繫，只跟輪子的中心相對於地面的位移有關係。
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