x2＋y2＝z2 的正整數解是否為有限個（x，y，z 三者的最大公約數等於 1）？
容易知道其上述方程無數個整數解，但是正整數解呢？
這不是很久很久以前就已經解決了的勾股數問題嗎……
互質的勾股數的通式為
x和y一定是一個奇數一個偶數，這裡取x是奇數的那個，y是偶數的那個，m和n互質且一個是奇數一個是偶數（否則不滿足互質條件，但仍然是勾股數）
該問題等價於x^2+y^2＝1上，是否有無窮多個有理點。
答案當然是肯定的，令x＝1-t^2/1+t^2，y＝2t/1＋t^2，簡單的計算可知，x^2+y^2＝1。
問題是，令x^2+y^2＝n，在何時它擁有無窮個有理解？
這個問題評論區解答一下
簡單解釋一下 @靈劍 提到的勾股數生成式是怎麼構造的。
考察複平面，問題是試圖找到這樣一個模為整數的複數，它的實部和虛部是互質的(當然，首先要保證都不為零，且是整數)。注意到只是找到即可，不需要遍歷，因此方法會比較自由。先考慮一個複數 ，其中不妨假設
且
。無論它的模是否為正整數，我們總可以平方這個複數得到正整數的模，即
，因為
。
於是新的複數應該是 ， 當然其中
。
我們不妨設 ，那麼有
。其中
肯定是一個偶數了，想要保證
互質，那麼
首先必須得是個奇數。進而地，
也得互質(
不互質會進而導致
不互質，讀者自證不難，設公因數即可推導)，那麼二者其一為奇數，而另一個可以證明(方法類似)確為偶數。
總之，因為這樣的 無窮多，進而這樣的互質正整數組
有無窮多個。
有無窮多個。
前面的答案都有些太複雜了，然而實際上根本不用這麼複雜。只需要注意到，對於任意正整數 ，有：
我們知道，形如 的平方數有無窮多個（更精確些，任意奇數的平方都滿足這個形式），於是隻需取這些
型的平方數，則
構成一個勾股數組。由於
，故也可知
，滿足題目要求。
剛寫完就發現突然加了題幹!!!!!
(大前提x，y，z三者的最大公約數等於1）
畢竟不是數學系的,,也沒學過數論
翻了一下書(柯召,孫琦--談談不定方程),,看到
![[公式]]()
![[公式]]()
a&>b&>0, (a,b)=1
丟番圖方程的整數通解,那麼問題來了,,這有啥用??有沒有數學大神稍微講一下?!
感激不盡!!
唉,,本來是來回答問題的,,結果變成問問題的了
原答案:
x2＋y2＝z2
這是一個丟番圖方程,它的解有無數個.不過仔細一看,,這不就是初中學的勾股定理的數學表達式嘛
我們設一個直角三角形,三條邊長分別為3 4 5,勾三股四弦五嘛,我們再想一想:相似三角形(AAA)我們作這個三角形的一個相似三角形,只要這個新三角的邊長是原來三角的整數倍,同樣可以滿足x2＋y2＝z2,而且讓它們的解為整數;依此類推,,(x*n)2＋(y*n)2＝(z*n)2 (n為正整數) .在x=3,y=4,z=5的條件下可以成立,因為正整數n有無數個,所以x2＋y2＝z2的正整數解也就有無數個.
以上是一個非數學系童鞋用比較接地氣的方式得到的結論,下面有專業點的,作業幫的答案:
x2+y2=z2
x2=z2-y2=(z+y)(z-y)使z和y是連續兩個自然數則z-y=1
有x2=z+y=2y+1所以只要x取任意奇數都可以 帶入都可有一組整數解如x=5 x2=25=2*12+1 則y=12 z=13當然 代負號平方結果一樣 即x=正負5 y=正負12 z=正負13有無窮多組解
重點在第8句:"所以只要x取任意奇數都可以 帶入都可有一組整數解"
因為奇數有無數個,所以整數解也有無數組
首先觀察以下幾組解（a，b，c）：
（3，4，5）
（5，12，13）
（7，24，25）
（9，40，41）
…………
顯然 (2x+1, 2x^2+2x, 2x^2+2x+1) 是方程的一組解
這樣的解中 b，c互質顯然成立：c=b+1
a與b、a與c是否互質留給題主思考，我有時間再補。
但即使思考不出來也沒關係，將a的值取質數的時候就顯然互質了（當然了不取也是互質的）。
已知質數是無限的，則方程的解也是無限的。QED
原回答：
令
x=3n
y=4n
z=5n
n是正整數
n有無限個，故方程有無限組解
這樣行嗎？
然後作者又加了個前提…上面那個就當我沒說。那之後再看看…
1000years later…
又想到一個：
令x=p (p是奇質數)，故p的平方是奇數
則可令p^2=2k+1
令y=k，z=k+1
容易證明此時的x,y,z是滿足題目要求一組解。
由於奇質數有無限個，故有無限組解。
（只是y和z相差為1的特例）（原回答時間：2020-04-06, 20:35）
for k ∈ Z+
x=2k+1
y=2k(k+1)
z=2k(k+1)+1
(y,z)=1
設x為≥3的正奇數，令y＝(x2-1)/2，z＝(x2+1)/2, 則z-y＝1，z+y＝x2，易得z2-y2＝x2，x2+y2＝z2。
因為奇數有無窮多個，所以滿足以上條件的數有無窮多個。且z比y大1，x、y、z不可能有大於1的公約數。
這個好像很顯然吧？直接構造：
另
那麼：
取 為任意
的奇數，有：
（為偶數）
（為奇數）
隨便帶入一些值：
3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
9, 40, 41
...
由於 ，因此顯然
，因此
即使再強化一下題主的問題，要求 互質這個問題還是很顯然。
因為 已經等於1了，我們只要取
為任意
的素數，顯然有
證畢
否，理由如下：
通常我們易知：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
…………
由此猜想，對於任意一個除了1以外的正奇數2k+1，都存在一個偶數2n，使得（k，n為正整數）
（2k+1）^2+（2n）^2=（2n+1）^2（*）
現證明猜想：
化簡（*）得：4k^2+4k+1+4n^2=4n^2+4n+1
即4k^2+4k=4n，即k^2+k=n
所以當n=k^2+k時，方程有整數根，
無窮個。
很簡單，隨便給個大於2的質數x把（保證為奇數），令
因為x是質數，所以a, x, b最大公約數是1，易證質數存在無窮個
答案是否定的
事實上，考慮如下恆等式
(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2
在n取任意正整數時，均成立
注意到上式後兩項最大公約數為1，可見有無窮個互素的3元數組滿足條件
非常簡單的構造方法
當n為整數且n≥1時
2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1就是一組最大公約數為1的勾股數。
明顯有無窮組。
你把它圖像畫出來不就可以了嗎？
它本身是個最簡單錐面方程。
這個錐面的錐頂在原點，如圖只不過這個題裏abc都是1
你要的正整數解就是這個錐面上第一卦限內所有坐標為正整數的點。這個錐面是無限大的。那解的個數就是這個錐面過正整數點的個數。
那麼我們知道過Z軸做一個平面，4X＝3Y，這個平面和錐面交線是一條無限長的母線。
而這條交線上分佈著無數特殊點
（3，4，5）
（6，8，10）你可以不停的給它擴大倍數。
而這些點都滿足……不對勁
對不起我傻逼了，我拿解析幾何轉了一圈又轉回去了，這個問題就是問正整數勾股數是不是無限多的。
答案就是無限多。
比如所有和345成比例的數都滿足這個方程。
這個問題和不用圓錐曲線……。我傻了。
這個問題其實比較簡單，可以這樣來完成
X取任意素數(不為2)，Y為(X2-1)/2，Z為(X2+1)/2
由此可得Z2-Y2=((X2+1)/2)2-((X2-1)/2)2
=((X2+1-X2+1)/2)((X2+1+X2-1)/2)
=1*X2=X2
所以等式成立
還有互素(最大公約數為1)的問題:
因為X2與X2±1互素，
所以X2與(X2±1)/2互素，
所以X與(X2±1)/2互素，
所以X，Y，Z最大公約數為1
還有無限(有限)個解的問題，這個比較簡單，因為素數有無限個(自己查，不解釋 )，所以有無數組正整數解。
證明完畢 Q.E.D.
這個問題可以說是很經典了。除了複數法，歸納法，我看到過一種弦方法，很巧妙。通過單位圓和直線相交，將單位圓上有理解轉化為直線的斜率是有理數。最後求出經典的結果。
雖然這裡pq互素保證不了xyz互素，但是我們只要限制pq是一奇一偶即可。這樣就能得到互素的xyz了
考慮圓 上的有理點
與過此點交於圓的直線
，聯立得
若 為有理數，則對應的解給出了圓上的有理點。
例1.取 ，對應的解為
與
.
這道題等價於x2+y2＝z2，x,y,z為正有理數是否為有限解？
暴力解決法：
令x為任意有理數，把x2隨便拆成兩個有理數的乘積（最簡單的，2*0.5x2）p和q，即x2＝p*q，
題就變成了，z2-y2＝（z+y）*（z-y）＝p*q
然後就變成了這樣：
解：z+y＝max{p,q}
z-y＝min{p,q}
解二元一次方程，沒有多少難度，解出來y,z均為有理數。
實數域上有理數集可數（非有限），故原命題有無限解。
答案是無限個。
構造證法其他回答都有。靈劍的回答裡面是基本勾股數的通式，這個也是可以推導出來的。
推薦日本作家結城浩的一個系列《數學女孩》，這個問題在其中第二本裡面有介紹。
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