幾何是低維的代數，代數是高維的幾何

幾何研究不同的形狀之間的關係和一個形狀內不同部分間的關係，是關於「圖形」的；代數研究數字之間的數量關係，且不再關注計算的數字結果，而著眼研究各種數量關係的規律。通過坐標系，幾何的圖形關係可以用代數式來描述，而代數式表達的數量關係可以由圖形來展示。無論對於啥代數(高等代數，線性代數…)，圖形都是幫助理解和識別代數關係的利器。當然，三維以上就困難了。

教線性代數而不談x,y和A的分佈(坐標系裡的幾何圖形)，不用在解析幾何裏已經駕輕就熟的代數式與幾何圖形之間的互表做法，使很多學人對線性代數頭大。

這裡允許我引用之前的一個回答，因為之前已經有人在知乎提問過相關問題了。

問題的鏈接如下:

代數與幾何的關係就像本質與現象的關係那樣嗎？?

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作者：神思者

鏈接：https://www.zhihu.com/question/368249691/answer/1020825288

來源：知乎

儘管數學越來越抽象而高深，但是一個正常的數學研究者必須明白一個真相，數學的基本結構纔是數學的核心，基本結構纔是數學結構抽象賴以生存的基礎。基本結構分幾何和代數兩部分。

現有的代數基本計算構造包括實數、複數、矩陣、漢密爾頓四元數、凱利八元數、格拉斯曼代數、模代數（mod(n)），包含所有基本運算及置換運算。幾何基本結構包括解析幾何結構和拓撲結構。所有數或函數域擴張是基本結構或混合結構的子部分或模擬。複數與實數結構有一個很大差別，數分解的唯一性和非唯一性，這直接通向環的理想結構，方程解的性質分析直接導致用矩陣結構處理不同羣的計算，模代數導致循環羣和環的概念擴張（週期封閉運算）。矩陣、漢密爾頓四元數、凱利八元數、格拉斯曼代數中非交換或非結合的主導地位。無窮結構（康託爾連續統）對代數結構的限制，導致連續計算結構和離散計算結構的差異。任何代數結構都必須用來處理幾何結構，否則沒有意義。代數是工具，幾何是靈魂。正是複數、矩陣、漢密爾頓四元數、凱利八元數、格拉斯曼代數在出現時沒有對應的幾何應用才導致爭議或被忽視。幾何結構用代數構造來處理才能到達深刻。所有方程都是函數，函數基本可以和方程等價看待，如果在不違反康託爾連續統結構條件下。數論方程是離散幾何形，分析方程是連續幾何形。

基本計算構造中的一些基本計算形式必須被瞭解，比如分析中的泰勒形式，傅立葉級數，外微分形式，柯西復公式，調和級數。複數中的歐拉公式，複函數的自然級數ｅ表示公式。

一些基本的思想，比如函數點化的函數（參數化）向量空間（甚至更抽象的等價類的moduli空間（概型））思想（一個高維圖形或等價類可以看成抽象空間的一個點），比如函數的（係數或係數加部分變數）形成坐標（環域）和變數形成的向量基，基本的如整多項式和勞倫斯多項式，係數和變數可以不是實或復域，可以是矩陣或其他計算結構或混合結構。

格羅騰迪克的結構數學和希爾伯特的公理化數學看似相同，實則不同。公理化重在處理邏輯，而結構化重在處理構造。所以結構數學的計算技術得到強化。在數學中，個人以為構造比邏輯重要和有效得多。

抽象代數最有價值部分是羣的計算，尤其有限單羣，其次環域分解，即什麼樣擴張域能使某個特定環的分解變成唯一的。代數幾何的最好部分就是上同調羣的構造和計算。個人認為格氏代數幾何雖然應用於拓撲和數論，但還是其數論的效用顯著，幾乎是為現代數論定身製作的。儘管同調羣計算可以應用於拓撲，但對拓撲的深層次問題的解決幫助不大，主要是龐加萊的同調和同倫技術不能處理這些深層問題，對此龐加萊本人十分清楚。當對比前輩時，當代數學家的影響和地位一般都會被當代數學人拔高。歷史長河將會自動降低大多數人的影響力。所以你必須對數學家的成就給予較合理的評價，這樣才能合理地理解數學思想和構造。一個盲從的人，其研究能力將被降低。就個人觀點而言，能在龐加萊和希爾伯特後稱為數學巨匠而無爭議的人只有格羅滕迪克。格羅滕迪克第一次真正地總結了所有現存的代數與幾何結構，實現了縱橫聯合。但不應過分拔高其影響。個人認為他還是不具備黎曼、龐加萊、伽羅華、高斯、阿貝爾、希爾伯特的影響，因為他們交給我們一些基本計算構造，而格洛騰迪克只是綜合別人的構造。

幾何的洞察力比代數天賦更寶貴，格羅騰迪克的幾何洞察力比較弱，其代數幾何更像是為從事數論的人打造的，適合算術幾何化分析。這點可以從他的拓撲比較弱，抽象代數比較強可以看出，儘管他最初從研究拓撲起家。他的代數幾何繼承了經典抽象代數構造和拓撲技術構造，尤其同調技術（龐加萊的拓撲同調看來比希爾伯特的多項式同調更加深刻）。拓撲結構，格洛滕迪克的東西是罩不住的。康託爾連續統結構，格羅滕迪克的東西是罩不住的，但格羅騰迪克試圖用（拓撲斯和範疇）罩住它，這很不現實。

康託爾連續統是整個無窮構造絕對核心。康託爾連續統的構造並非完美，哥德爾只是從邏輯層面而不是從計算構造層面解決康託爾無窮結構。任何對康託爾連續統結構的調整必將引起數學面貌的重大變化。如果從代數方面簡單地處理康託爾連續統，就算以後被證明是對的，目前也是很難被認同的，就如格拉斯曼、漢密爾頓的境遇，康託爾本人當時境遇很慘。約翰康威在康託爾連續統上做了一些探索，但那只是遊戲而已，非標準分析就只是一個拙劣的模仿產物。代數基本計算結構的新出現（發明），必須反應在幾何結構重大自然發現中。格拉斯曼代數在多變數微積分張量結構中，漢密爾頓代數在麥克斯韋方程中的應用，才使這些構造有意義。本人認為康託爾連續統構造不是令人滿意的。當前格羅滕迪克的東西被人過分拔高了。它的侷限性是很明顯的，它更像一個數學的抽象合縱，不能用作提供解決一些關鍵數學結構的代數構造武器，儘管以後新構造會符合抽象代數的某些要求。現代幾何尤其拓撲仍然籠罩在黎曼和龐加萊的影響下。當代最有幾何洞察力的人是瑟斯頓，但他那一套解決拓撲結構的方案不能令人滿意。拓撲結構目前是最有研究價值的數學方向，但拓撲的研究現狀令人失望，完全沒有突破黎曼和龐加萊的陰影。龐加萊本人完全清楚他主要拓撲構造技術的侷限性。一般（點集）拓撲學純粹是從概念上附和康託爾連續統結構而創製的，沒有多大意思。微分拓撲與點集拓撲和微分幾何聯繫太緊，體現不出拓撲的基本思想，只有代數拓撲是希望所在，但現狀（基於同調和同倫計算技術）完全令人失望。拓撲結構和康託爾連續統間關聯有很多不清楚的地方。想要進入高端數學研究，必須學會鑒賞主要數學家方案的優劣（就如每個建築師做自己的方案一樣，會有不同效果），而不是全盤學習並完全陷入他們的方案，而是要隨時設想自己的方案與其比較。因為數學文獻是海量的，即使高斯、龐加萊再世，他們也無法看完。這時研究者只能憑其天賦直覺來挑選。如果一個方案沒用或用處不大，馬上拋棄，不要浪費時間去學習。現在沒用或意義不大的數學內容太多。即使是數學大師，他們的一些東西也是用處不大的。有兩種途徑進入高端研究領域，在一個自己能深刻理解的數學基本構造基礎上，尋找合適的現存頂級難題；其二是自己在思考數學基本構造的基礎上，發現併合理提出新的頂級問題獨自為自己擁有（在未決前不公佈），正如龐加萊在為解決天體力學的n體問題時所為，龐加萊的拓撲遺產比黎曼要深刻多了，構造idea和技巧也多。不是每個世界難題都有基礎數學意義。費馬大定理就是一個好題目，它見證並參與現代抽象代數結構（尤其環理想）和橢圓曲線模結構的全過程。而哥德巴赫猜想就不是一個令人滿意的難題，四色問題也是如此。龐加萊球面猜想的重要性被高估，儘管有瑞奇流技術，但沒有直接產生有效代數拓撲構造。一個難題的好壞在於研究它的過程中產生較大普適範圍的基本構造。拓撲不變數的觀念太深地根植在數學中，已經成為一種負擔。目前的拓撲不變數太粗糙，附加條件太多，稍精細的技術太難計算或實際不能計算。使用不同不變數，使同一個拓撲形與其他不同拓撲形的形成不同拓撲等價類，即兩個拓撲形是否等價，取決於不變數技術的選取。事實上，拓撲形之間有些等價性是相對的，條件變了，等價性也變，有些則很隱晦的。同時，與康託爾結構發生關係，顯然造成拓撲結構的複雜性。維數有關鍵性作用，高維拓撲不能由低維拓撲直接而簡單地推廣，高維比低維深刻很多。

阿蒂亞和丘成桐說數學家看見了這些幾何形或拓撲形，但就是沒有辦法。幾何洞察力，首先就是看見形的靜態或動態特徵，尤其對複雜圖形和高維圖形的想像力（不要老想著幾個簡單圖形，它們體現不出很多拓撲深入後的細節）,提取幾何分解概念和結構，然後利用它們重新代數地構造所有拓撲形。

我並不認為當代這些名家真正看清了這些高維拓撲結構，如果看清了，必然在處理方式上有所反映。顯然有一些重要概念沒有得到完全理解。一些有效的拓撲分解概念和要素，被深深隱藏，需要強大的幾何洞察力和數學全局觀。需要突破的關卡和迷霧眾多，而且像一個複雜的關係套，需要連續理解和挑戰。同調和同倫技術不夠深刻，不能全面反映所有拓撲形細節，它們不是一個理想的拓撲代數工具。拓撲基本計算構造應該不在目前所有代數基本構造範圍內，需要新的代數計算工具。

數學的直覺往往是以具體而恰當的例子來轉換的，恰當例子越多，通過直覺得到的構造被「證明」越「正確」。具體的例子比抽象的定理敘述更有說服力，更容易理解新構造。當你學習格洛騰迪克那樣抽象的數學結構時，手頭必須備有很多實例去對照。恰當地掌握了這些例子，也就恰當地掌握了數學。格洛騰迪克的抽象並非膚淺的抽象比如像非標準分析那種，而是基本結構為實例的深刻抽象。中國人長於代數計算尤其數論，而短於幾何分析，這是從古代流傳下的傳統，現在這種影響還是十分強大。陳邱二人在華人傳統上進行了很大衝擊，後來一些在國外的華人師從他們的道路。看不慣國人對陳省身、丘成桐二人數學學術影響力和地位的過分拔高。他們二人對數學整體的理解，個人不完全贊同。尤其不喜歡丘（和威騰）對數學和物理關係的看法。牛頓把自己的曠世名著定為力學的數學原理而不是數學的物理原理絕不是毫無來由的。對物理和數學關係的看法，牛頓、龐加萊這些人才會有深刻體會。目前數學和物理關係正反映了現代數學缺陷，特別是量子領域與康託爾連續統和拓撲結構之間的密切關係。現代理論物理已經淪為數學遊戲（一個真正的物理家應該理論和實驗通喫），而丘的數學寄希望通過理論物理來解決，非常令人失望。物理只提供實例，數學的基本構造必須源於自身。

我在原先問題的回答如下:

代數與幾何的關係就像本質與現象的關係那樣嗎？?

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在現代數學中，你可以說幾何和代數沒有本質的區別！

我覺得，可以某種角度看，幾何和代數開始是分開的，就是隻會算1+2,知道y=x2,x=5時,y=25,但小學的時候?~哪裡知道能畫出一個圖形 圖像:拋物線圖形來呢

包括有時我看題目，ab線段的長度的值要用ⅠAB|來表示而不是初高中的AB,這是為什麼呢~其實這個當時看不算啥子問題，但是最近我在弄曲面曲線積分的時候，突然就產生疑問了，沒錯，各種推導總不是感覺很順暢，都是跳了一些跨度的呀or，等會兒再打,,

幾何是可見的具像的數學，肉眼可見的含義。

代數是廣泛的抽象的數學，含義深刻不明顯。

聯繫就是，在人類世界裡，它們都是描述客觀事物關係的計算工具，有的數學關係是連續的，可以把它們簡化為幾何，有的數學關係是離散的，幾何表達不清晰，我們用公式表示，也就是代數。

數學是一門語言，在我們的世界中，是人類描述大自然的語言，也是大自然中最簡潔的語言。

它一直存在，甚至在物質誕生之前，就有某種關係在表達始終。

遙想當年，我們的歷史老師上學期時還是教歷史，下學期突然教我們物理，上學期教政治的老師，下學期開始教我們數學，

上小學的時候更慘，我們的數學老師都是初中畢業的，唯一的威懾力，那就是扭腿裏子，

上小學的時候，感覺數學好簡單自從上了初中以後，數學變成了代數和幾何，打那開始，這兩科就跟我沒緣分了，我跟代數和幾何打了招呼，多年以後，他們還認識我，可我還是不認識他們。

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