几何是低维的代数,代数是高维的几何


几何研究不同的形状之间的关系和一个形状内不同部分间的关系,是关于「图形」的;代数研究数字之间的数量关系,且不再关注计算的数字结果,而著眼研究各种数量关系的规律。通过坐标系,几何的图形关系可以用代数式来描述,而代数式表达的数量关系可以由图形来展示。无论对于啥代数(高等代数,线性代数…),图形都是帮助理解和识别代数关系的利器。当然,三维以上就困难了。

教线性代数而不谈x,y和A的分布(坐标系里的几何图形),不用在解析几何里已经驾轻就熟的代数式与几何图形之间的互表做法,使很多学人对线性代数头大。


这里允许我引用之前的一个回答,因为之前已经有人在知乎提问过相关问题了。

问题的链接如下:

代数与几何的关系就像本质与现象的关系那样吗??

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作者:神思者

链接:https://www.zhihu.com/question/368249691/answer/1020825288

来源:知乎

尽管数学越来越抽象而高深,但是一个正常的数学研究者必须明白一个真相,数学的基本结构才是数学的核心,基本结构才是数学结构抽象赖以生存的基础。基本结构分几何和代数两部分。

现有的代数基本计算构造包括实数、复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数、模代数(mod(n)),包含所有基本运算及置换运算。几何基本结构包括解析几何结构和拓扑结构。所有数或函数域扩张是基本结构或混合结构的子部分或模拟。复数与实数结构有一个很大差别,数分解的唯一性和非唯一性,这直接通向环的理想结构,方程解的性质分析直接导致用矩阵结构处理不同群的计算,模代数导致循环群和环的概念扩张(周期封闭运算)。矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数中非交换或非结合的主导地位。无穷结构(康托尔连续统)对代数结构的限制,导致连续计算结构和离散计算结构的差异。任何代数结构都必须用来处理几何结构,否则没有意义。代数是工具,几何是灵魂。正是复数、矩阵、汉密尔顿四元数、凯利八元数、格拉斯曼代数在出现时没有对应的几何应用才导致争议或被忽视。几何结构用代数构造来处理才能到达深刻。所有方程都是函数,函数基本可以和方程等价看待,如果在不违反康托尔连续统结构条件下。数论方程是离散几何形,分析方程是连续几何形。

基本计算构造中的一些基本计算形式必须被了解,比如分析中的泰勒形式,傅立叶级数,外微分形式,柯西复公式,调和级数。复数中的欧拉公式,复函数的自然级数e表示公式。

一些基本的思想,比如函数点化的函数(参数化)向量空间(甚至更抽象的等价类的moduli空间(概型))思想(一个高维图形或等价类可以看成抽象空间的一个点),比如函数的(系数或系数加部分变数)形成坐标(环域)和变数形成的向量基,基本的如整多项式和劳伦斯多项式,系数和变数可以不是实或复域,可以是矩阵或其他计算结构或混合结构。

格罗腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同,实则不同。公理化重在处理逻辑,而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强化。在数学中,个人以为构造比逻辑重要和有效得多。

抽象代数最有价值部分是群的计算,尤其有限单群,其次环域分解,即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论,但还是其数论的效用显著,几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应用于拓扑,但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大,主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题,对此庞加莱本人十分清楚。当对比前辈时,当代数学家的影响和地位一般都会被当代数学人拔高。历史长河将会自动降低大多数人的影响力。所以你必须对数学家的成就给予较合理的评价,这样才能合理地理解数学思想和构造。一个盲从的人,其研究能力将被降低。就个人观点而言,能在庞加莱和希尔伯特后称为数学巨匠而无争议的人只有格罗滕迪克。格罗滕迪克第一次真正地总结了所有现存的代数与几何结构,实现了纵横联合。但不应过分拔高其影响。个人认为他还是不具备黎曼、庞加莱、伽罗华、高斯、阿贝尔、希尔伯特的影响,因为他们交给我们一些基本计算构造,而格洛腾迪克只是综合别人的构造。

几何的洞察力比代数天赋更宝贵,格罗腾迪克的几何洞察力比较弱,其代数几何更像是为从事数论的人打造的,适合算术几何化分析。这点可以从他的拓扑比较弱,抽象代数比较强可以看出,尽管他最初从研究拓扑起家。他的代数几何继承了经典抽象代数构造和拓扑技术构造,尤其同调技术(庞加莱的拓扑同调看来比希尔伯特的多项式同调更加深刻)。拓扑结构,格洛滕迪克的东西是罩不住的。康托尔连续统结构,格罗滕迪克的东西是罩不住的,但格罗腾迪克试图用(拓扑斯和范畴)罩住它,这很不现实。

康托尔连续统是整个无穷构造绝对核心。康托尔连续统的构造并非完美,哥德尔只是从逻辑层面而不是从计算构造层面解决康托尔无穷结构。任何对康托尔连续统结构的调整必将引起数学面貌的重大变化。如果从代数方面简单地处理康托尔连续统,就算以后被证明是对的,目前也是很难被认同的,就如格拉斯曼、汉密尔顿的境遇,康托尔本人当时境遇很惨。约翰康威在康托尔连续统上做了一些探索,但那只是游戏而已,非标准分析就只是一个拙劣的模仿产物。代数基本计算结构的新出现(发明),必须反应在几何结构重大自然发现中。格拉斯曼代数在多变数微积分张量结构中,汉密尔顿代数在麦克斯韦方程中的应用,才使这些构造有意义。本人认为康托尔连续统构造不是令人满意的。当前格罗滕迪克的东西被人过分拔高了。它的局限性是很明显的,它更像一个数学的抽象合纵,不能用作提供解决一些关键数学结构的代数构造武器,尽管以后新构造会符合抽象代数的某些要求。现代几何尤其拓扑仍然笼罩在黎曼和庞加莱的影响下。当代最有几何洞察力的人是瑟斯顿,但他那一套解决拓扑结构的方案不能令人满意。拓扑结构目前是最有研究价值的数学方向,但拓扑的研究现状令人失望,完全没有突破黎曼和庞加莱的阴影。庞加莱本人完全清楚他主要拓扑构造技术的局限性。一般(点集)拓扑学纯粹是从概念上附和康托尔连续统结构而创制的,没有多大意思。微分拓扑与点集拓扑和微分几何联系太紧,体现不出拓扑的基本思想,只有代数拓扑是希望所在,但现状(基于同调和同伦计算技术)完全令人失望。拓扑结构和康托尔连续统间关联有很多不清楚的地方。想要进入高端数学研究,必须学会鉴赏主要数学家方案的优劣(就如每个建筑师做自己的方案一样,会有不同效果),而不是全盘学习并完全陷入他们的方案,而是要随时设想自己的方案与其比较。因为数学文献是海量的,即使高斯、庞加莱再世,他们也无法看完。这时研究者只能凭其天赋直觉来挑选。如果一个方案没用或用处不大,马上抛弃,不要浪费时间去学习。现在没用或意义不大的数学内容太多。即使是数学大师,他们的一些东西也是用处不大的。有两种途径进入高端研究领域,在一个自己能深刻理解的数学基本构造基础上,寻找合适的现存顶级难题;其二是自己在思考数学基本构造的基础上,发现并合理提出新的顶级问题独自为自己拥有(在未决前不公布),正如庞加莱在为解决天体力学的n体问题时所为,庞加莱的拓扑遗产比黎曼要深刻多了,构造idea和技巧也多。不是每个世界难题都有基础数学意义。费马大定理就是一个好题目,它见证并参与现代抽象代数结构(尤其环理想)和椭圆曲线模结构的全过程。而哥德巴赫猜想就不是一个令人满意的难题,四色问题也是如此。庞加莱球面猜想的重要性被高估,尽管有瑞奇流技术,但没有直接产生有效代数拓扑构造。一个难题的好坏在于研究它的过程中产生较大普适范围的基本构造。拓扑不变数的观念太深地根植在数学中,已经成为一种负担。目前的拓扑不变数太粗糙,附加条件太多,稍精细的技术太难计算或实际不能计算。使用不同不变数,使同一个拓扑形与其他不同拓扑形的形成不同拓扑等价类,即两个拓扑形是否等价,取决于不变数技术的选取。事实上,拓扑形之间有些等价性是相对的,条件变了,等价性也变,有些则很隐晦的。同时,与康托尔结构发生关系,显然造成拓扑结构的复杂性。维数有关键性作用,高维拓扑不能由低维拓扑直接而简单地推广,高维比低维深刻很多。

阿蒂亚和丘成桐说数学家看见了这些几何形或拓扑形,但就是没有办法。几何洞察力,首先就是看见形的静态或动态特征,尤其对复杂图形和高维图形的想像力(不要老想著几个简单图形,它们体现不出很多拓扑深入后的细节),提取几何分解概念和结构,然后利用它们重新代数地构造所有拓扑形。

我并不认为当代这些名家真正看清了这些高维拓扑结构,如果看清了,必然在处理方式上有所反映。显然有一些重要概念没有得到完全理解。一些有效的拓扑分解概念和要素,被深深隐藏,需要强大的几何洞察力和数学全局观。需要突破的关卡和迷雾众多,而且像一个复杂的关系套,需要连续理解和挑战。同调和同伦技术不够深刻,不能全面反映所有拓扑形细节,它们不是一个理想的拓扑代数工具。拓扑基本计算构造应该不在目前所有代数基本构造范围内,需要新的代数计算工具。

数学的直觉往往是以具体而恰当的例子来转换的,恰当例子越多,通过直觉得到的构造被「证明」越「正确」。具体的例子比抽象的定理叙述更有说服力,更容易理解新构造。当你学习格洛腾迪克那样抽象的数学结构时,手头必须备有很多实例去对照。恰当地掌握了这些例子,也就恰当地掌握了数学。格洛腾迪克的抽象并非肤浅的抽象比如像非标准分析那种,而是基本结构为实例的深刻抽象。中国人长于代数计算尤其数论,而短于几何分析,这是从古代流传下的传统,现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击,后来一些在国外的华人师从他们的道路。看不惯国人对陈省身、丘成桐二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解,个人不完全赞同。尤其不喜欢丘(和威腾)对数学和物理关系的看法。牛顿把自己的旷世名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理绝不是毫无来由的。对物理和数学关系的看法,牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷,特别是量子领域与康托尔连续统和拓扑结构之间的密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏(一个真正的物理家应该理论和实验通吃),而丘的数学寄希望通过理论物理来解决,非常令人失望。物理只提供实例,数学的基本构造必须源于自身。

我在原先问题的回答如下:

代数与几何的关系就像本质与现象的关系那样吗??

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在现代数学中,你可以说几何和代数没有本质的区别!


我觉得,可以某种角度看,几何和代数开始是分开的,就是只会算1+2,知道y=x2,x=5时,y=25,但小学的时候?~哪里知道能画出一个图形 图像:抛物线图形来呢

包括有时我看题目,ab线段的长度的值要用ⅠAB|来表示而不是初高中的AB,这是为什么呢~其实这个当时看不算啥子问题,但是最近我在弄曲面曲线积分的时候,突然就产生疑问了,没错,各种推导总不是感觉很顺畅,都是跳了一些跨度的呀or,等会儿再打,,


几何是可见的具像的数学,肉眼可见的含义。

代数是广泛的抽象的数学,含义深刻不明显。

联系就是,在人类世界里,它们都是描述客观事物关系的计算工具,有的数学关系是连续的,可以把它们简化为几何,有的数学关系是离散的,几何表达不清晰,我们用公式表示,也就是代数。

数学是一门语言,在我们的世界中,是人类描述大自然的语言,也是大自然中最简洁的语言。

它一直存在,甚至在物质诞生之前,就有某种关系在表达始终。


遥想当年,我们的历史老师上学期时还是教历史,下学期突然教我们物理,上学期教政治的老师,下学期开始教我们数学,

上小学的时候更惨,我们的数学老师都是初中毕业的,唯一的威慑力,那就是扭腿里子,

上小学的时候,感觉数学好简单自从上了初中以后,数学变成了代数和几何,打那开始,这两科就跟我没缘分了,我跟代数和几何打了招呼,多年以后,他们还认识我,可我还是不认识他们。


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