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在數學上，二者其實沒有太多根本區別，就一句話

在一個域中構造一個線性空間，那麼域中的量就叫標量，線性空間中的量就是矢量（向量）

設 是一個非空集合， 是一個數域

在 上定義一種二元運算 ，稱為加法，使得對 中任意兩個元素 和 ， 中都有惟一一個元素 與其對應，即 ， 稱作 與 的和；

在數域 和集合 的元素之間定義了一種運算叫做數乘，對於數域 中任意一個數 和集合 中任意一個元素 ，在 中都有唯一一個元素 與其對應，即 ， 稱為 與 的數乘.

其中向量加法要求是構成的一個交換羣

數乘滿足：

1） ；

2） .

數乘對標量加法滿足分配律：3） ；

數乘對向量加法滿足分配律：4） .

滿足以上規則的集合 就叫做線性空間，集合 中的元素就叫做向量，而數域 中的元素稱為標量

至於物理和幾何學中狹義的矢量（向量），實際上是歐幾裏得向量

要研究它們，光線性空間是不夠的，需要在線性空間定義內積運算

我們設 ，它們的內積記為

內積需要滿足：

1）

2）

3）

4） ，當且僅當 時取等

這樣就建立了內積空間

並且向量的內積要滿足平行四邊形法則：

（ ）

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矢量與標量的根本區別是運演算法則的不同，而不是有無方向，如電流有方向，但電流是標量？

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個人理解。

首先，無論矢量還是標量，都是一個有測度的連續函數。

第二，矢量被定義為有方向性，這裡的方向跟電路中的電流方向不是一個意思。而且來說，電路中的電流你做基爾霍夫的時候，也完全可以矢量定義，結果定方向。

三，問題如果深入一些就會發現，其實對於一個矢量，如果它是一維的，那麼它其實就是個標量！比如矢量A表示數軸上長度為1的由1指向2的量；矢量B表示數軸上長度為1的由2指向1的量；你會發現，A和B 其實只是一個符號差異，其方向特徵僅用符號就能描述。其測度的疊加完全不受符號外的第三個量的影響。所以，其實標量就是一維的矢量，或者說標量就是實數。

四，可能有人要拿面積標量和體積標量來打我的臉。但其實，無論是面積還是體積，單純說一個標量的時候，你完全不能確定他的形狀，因為你在給他測度的時候，他的測度就已經化為一維的了。所以，所謂的面標量體標量還是矢量的一維化，或者實數化。

五，所以，總結一下，所有可以一維化表示（實數化）的量就是標量。其它的應該就是矢量。

個人理解。僅供參考討論。

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個人覺得可以這樣認為，對於一個事物，標量是用來衡量這個事物的各種屬性信息；而矢量不僅僅可以衡量事物的屬性信息，還附加說明瞭屬性信息之間的關係。比如一個人從一個點位置走到另一個點位置，他其中走的每一步的距離是用來衡量他的步長大小的標量；而他從第一步的距離和方向到最後一步的距離和方向組合在一起，也就是中間的位移過程，這是矢量，矢量中的每一個數據是有相對的前後順序關係的，因為矢量這個詞的存在，本來就是為了描述這種關係而產生。

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標量是特殊的矢量，

矢量是一般的標量。

(暴論)

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矢量是運算規則遵循平行四邊形法則的量；

標量在3維空間裏是轉動變換下的不變數，在4維空間裏是洛倫茲變換下的不變數。

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不就一個帶方向性 一個不帶方向性嘛

電流有些特殊 一般的電路一般只在導線中流動 故而只有兩個方向 如果學過電路基礎或者基爾霍夫定理或者環路定理什麼的 都會先規定一個參考方向 正號和負號是和參考方向相同或者相反

但中學不會搞這麼複雜

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標量和矢量可以從一下三個方面區分：

1. 標量是隻有大小沒有方向的量，矢量既有大小又有方向；

2. 標量在坐標系變換下保持不變，而矢量的分量在坐標系變換下按照坐標的變換規律變換；

3. (以三維空間為例）標量給出旋轉羣SO3的平凡表示，矢量給出SO3的三維表示.

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在數學方面，矢量的定義是有大小，方向的量。

個人覺得這種定義存在問題，即電路之中的電流有方向但不是矢量。

這是因為物理之中，矢量的定義還有一個條件，(滿足平行四邊形定則)。如果不滿足則不視為矢量。電流也是因為這個所以不是矢量。

因而，物理定義比數學還複雜，更加適合實際

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