學過彈性力學的人都知道：空間彈性理論15個方程，3個平衡方程，6個物理方程（胡克定律），6個幾何方程，15個方程15個未知量，十五個未知量分別為6個應力，6個應變，3個位移。然而這裡的位移都是線位移，為何不考慮角位移而出現有3個帶有轉動慣量的平衡方程？是因為單元體太小看成是質點（node）的緣故嗎？

考慮轉動的理論當然有

且適合於「宏微觀」，屬於廣義連續介質理論

我直接說一個結論吧

「考慮轉動引起的偶應力理論屬於尺度理論，尺度理論會隨著從微觀到宏觀的過渡逐漸消失」，下圖是伯努利梁考慮偶應力的模型。

modified couple stress theory，具體形式：

1.位移對應「轉角」

2.應變對應「曲率張量」

3.應力對應「偶應力張量」

再推薦你一篇IJSS的文章，簡單易懂

是基於基爾霍夫板的偶應力理論

Tsiatas, G. C. (2009). "A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory." International Journal of Solids and Structures 46(13): 2757-2764.

關於這個理論的發展，我有小的總結：

不過不得不說，用的最多的並不是Mindlin的理論，而是Yang的修正理論（2002）。

附上一個我自己推導過的鐵摩辛柯梁的偶應力模型：

有問題再繼續討論吧。

這個問題很好

這是因為你學的是線彈性的(不考慮應變梯度)，空間均勻的各向同性材料(不考慮夾雜，各項異性等)的彈性力學。

你可以回想一下，為什麼一點的應力張量有九個分量，而物理方程只有六個。

因為剪應力互等

那剪應力為什麼互等呢，因為微元體力矩是平衡的，所以沒有轉動，所以就不會出現轉動慣量，其實你要的轉動平衡方程就是剪應力互等定理。

那考慮「轉動」情況的呢，當然是有的，其實還用不上樓上說的偶應力理論這麼麻煩的高階彈性理論。簡單的例子就是固體中的剪切帶和流體中的邊界層，他們的典型特點就是一個方向的變形梯度遠大於另一個方向的變形梯度，這時剪應變率的變化率不為零。系統的控制方程中，你所說的「轉動」情況是佔主導地位的。

一點看法，歡迎討論。

角位移，或者說轉動，和應變是兩個概念。角位移在時間上的二階導數就是轉動的加速度，直接和外力用牛頓第二定律聯繫起來了，並不需要用別的定律比如胡克定律。所以最終的Navier-Stoke Equation是包含了角位移的。當然需要注意的是，這裡角位移是在小應變情況下的近似。

一點調研工作，希望對你有用。

因為你學的是線性彈性力學，力矩平衡會得到tau ij = tao ji，非線性彈性力學的PK1應力就不是對稱的了，建議看一下非線性彈性力學或者連續介質力學

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