謝邀

倘若你說的是數零。

設在實數域上有第二個零元0｀

0=0｀+0=0｀

所以有0=0｀

於是零元唯一。

於是0=0得證。

這個既可以當做公理，也可以通過推導而來。

我認為更重要的是掌握搭建數系的基本思想。

emm，這個應該不需要的吧

但高代裡面是要證明零元只有一個，題主這個如果只是要證數字的相等，那不需要，如果題主的意思是證零元有一個，那麼就需要了

請先定義0與＝與0的含義。

不需要,原因其他答主已經說了.

與其思考 [公式] ,不如來思考以下兩個命題吧.

  1. 證明 [公式]
  2. 證明 [公式]

這個命題是一種叫做（亞里士多德）恆等律（law of identity）的命題的直接推論。它在具體理論裡面，也稱為「XX YY 的反身性」。例如，放到命題邏輯里，你可以討論「命題邏輯等價的反身性」（XX=「命題」YY=「邏輯等價」）。放到有類的集合論里，你可以討論「類相等的反身性」（XX=「類」YY=「相等」）。如果你的公理化方案是一種極簡主義風格，恆等律一般不會被採納為公理。那麼，作為一條定理，恆等律（對你提到的命題也是一樣）自然可以通過公理證明出來。在這種情況下，「0=0」並不是公理的直接推論。反之，你接納恆等律作為公理，「0=0」就是個簡單的直接推論，這太淺顯了，你就會說「無需證明」。

舉例來說，你在處理命題邏輯時採納以下四條作為公理：（參見《Principia Mathematica》）

甲、(φ→(ψ→φ))乙、((φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)))丙、((?φ→?ψ)→(ψ→φ))丁、已知 φ 和 (φ→ψ) 得 ψ那麼，你會發現恆等律 (φ?φ) （也就是《Principia Mathematica》的定理 *4.2，Principle of identity for logical equivalence）的證明並不是這麼顯然的。

我演示一下證明引理 (φ→φ)。（沒有任何魔法，只不過是一些字元串查找與替換的遊戲。）

先證引理 (φ→φ) 的引理 1：已知 ((φ→(ψ→χ)) 得 ((φ→ψ)→(φ→χ)))

a) 根據引理 1 的假設，有 ((φ→(ψ→χ))

b) 根據公理乙，有 ((φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)))c) 現在已知 ((φ→(ψ→χ)) 和 ((φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)))，根據公理丁，得 ((φ→ψ)→(φ→χ)))

再證引理 (φ→φ) 的引理 2：已知 (φ→ψ) 和 (φ→(ψ→χ)) 得 (φ→χ)

a) 根據引理 2 的假設，有 (φ→ψ)b) 根據引理 2 的假設，有 (φ→(ψ→χ))c) 現在已知 (φ→(ψ→χ))，根據引理 1，得 ((φ→ψ)→(φ→χ)))d) 現在已知 (φ→ψ) 和 ((φ→ψ)→(φ→χ)))，根據公理丁，得 (φ→χ)

證明引理 (φ→φ)

a) 根據公理甲，有 (φ→(φ→φ))

b) 根據公理甲，有 (φ→((φ→φ)→φ))

c) 現在已知 (φ→(φ→φ)) 和 (φ→((φ→φ)→φ))，根據引理 2，得 (φ→φ)

你可以自己試著從上面四條公理出發，中間利用引理 (φ→φ) 來證明恆等律 (φ?φ)。你會發現並不是很輕鬆，要不然懷特海德和羅素也不會拖到 *4.2 才證明這個。（較低難度：你還可以把上面這段證明過程變成一個填字遊戲——把文本複製下來，將 φ, ψ, χ 都換成空白，保留別的，看看能不能還原。）

回到證明「0=0」，你需要恆等律「A=A」。在一個有類的集合論里，你會把「0」處理成一個類的常量，這樣「0=0」是「A=A」的直接推論。假設你已完成謂詞邏輯的準備工作，你大概還需外延公理和類相等關係的定義，通過數十行如上一般的基礎步驟（要是從公理甲那裡開始算的話，證明的花費可是近千行了），你最後能證明「A=A」和「0=0」。你要是只想看個梗概的話，你可以參見奎因的《Set Theory and Its Logic》的定理 6.4。

萬一你不是集合論的粉絲，那麼你可能會想從極簡主義的自然數算術公理系統（皮亞諾公理）出發，來證明「0=0」。相信我，那是一個更為漫長的征程。當然，你可以在極簡主義上做點妥協，將相等「=」的概念從集合論或是自然數算術等具體理論中解放出來，在謂詞邏輯這一層面探討它，塔斯基的《A Simplified Formalization of Predicate Logic with Identity》為你指了條明路，你可以看引理 6。（順帶一提，這個引理位於全篇三分之一處，除開客套話，前面還有 6 頁的「準備工作」。）

綜上，我的結論是，你的個性如果是喜歡挑戰的那種，那麼 0=0 就需要證明。否則，你接納恆等律作為公理，然後省掉那種一句話的「證明」，那就是無需證明了。哦，原來是個主觀問題。

最後，補充一下，你要是一個真正的挑戰者的話，你可以想一想 (2+2)=(1+3)，或是 2×3≠5 之類的問題。（你猜猜這些個數字是不是複數。）我的觀察是，這些問題的嚴格形式化證明（字元串查找與替換的遊戲）需要花費的基礎步驟（行數）就比 0=0 要高出了一兩個數量級。除了挑戰精神，你如果還有足夠的毅力和技巧，你可以想一想「自然對數的底 e 是超越數」之類的問題，難度至少又提升了一個數量級（數十萬行的基礎步驟）。（今年 4 月份，「自然對數的底 e 是超越數」已由 Glauco Siliprandi 在前人的基礎上挑戰成功，我確定不是愚人節惡作劇。）

不需要。自身一定等於自身。這是等於的定義裡面的一個條件。

我覺得需要證明。不過在證明這個問題之前，我想先麻煩您證明一下，你自己就是你自己

不知道是什麼需要證明

以我的觀點來看這玩意不用證明吧？

畢竟左右是一個東西，根據等號的定義，這個式子就成立了

不知道題主說的證明是這個意思嗎

不需要，這是「等於」的定義。

就好像定義素數是只有兩個不同因數的整數（不糾結正負），你來問「只有兩個不同因數的是素數需要證明嗎？」當然是不用。

不需要，因為等式是恆成立的。

有個很有意思的，不過不一定正確，聽聽就可

0＞0，這麼解釋，第一個0是準確的數值，是數軸上的那個0點，然而現在有一個1/n，n始終大於0，當n→∞，也是可以認為1/n＝0，然而總有微小的差距，不是準確的0。

比如極限圓的舉例，x2+y2+z2＝1且（x，y，z≠0）如何使得這個等式成為圓，z＝0就可以，然而這樣與z≠0違背，如何做呢，z接近0就行，換句話說，|z|-0＝a，這個a很小很小，以至於可以認為z＝0，此時x2+y2+z2＝1就變成了x2+y2＝1，一個極限圓就有了，另外y＝x+1這個函數是否可以認為是曲線，應該可以，y＝x+1這條直線是一個半徑無窮大的圓的圓弧。

這個舉例只是說0比較特殊

0=0可以證偽啊，一維框架邏輯在二維，三維，四維等高緯度就是不確定性的。舉例進位，進位就說明脫離了一維進入二維框架了。0此時就可能不等於0

以下內容包含個人見解，歡迎討論或指正。

首先回答題主的問題：需要。

不願意聽廢話的可以直接到最後看結論。

實際上，對於題主的問題，有很多地方是沒有明確定義的：0是什麼？=是什麼？「需要證明」又是什麼？

姑且先不論0的含義，將其認為是一個「表示某個東西」的符號。但「=」的定義就不能這麼糊弄過去，否則這個問題就沒有什麼意義了。那麼「=」究竟是什麼？

wiki的「相等」詞條是這麼說的：

在數學的領域中，若兩個數學對象在各個方面都相同，則稱他們是相等的。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作「=」；x=y當且僅當x和y相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式，例如6-2=4，即6-2與4是相等的。

這裡給「=」下了一個定義，但仍然沒有說明什麼叫「在各個方面都相同」。實際上，這個定義也是模糊不清的：這裡的「相同」是什麼含義？「在各個方面」又是指哪些方面？6-2=4成立，但左邊是一個由減號連接的式子，右邊是一個數。那麼這一區別是否是不包含在「各個方面」內的？

由此可見，一個對象的定義不斷往上追溯，總有一些東西是沒有良好定義過的。因此，不得不存在一些東西是「不定義自明」的。這與公理化有些相似：為了說明一些命題的真假性，不得不定義一些命題是「不證自明」的。

回到這個問題。由於總有一些東西是沒有辦法定義的，那不妨將等號作為定義的起點。也就是說，等號的意義就是我們日常生活中所認為的那樣。等號兩邊的東西應該是一樣的，或者在一定範圍內是一樣的。從而我們賦予等號一些性質（仍然從wiki抄下來）：

替代性：對任意量a和b和任意表達式F(x)，若a=b，則F(a)=F(b)（設等式兩邊都有意義）。

自反性：對任意量a，a=a。對稱性：如果a=b，那麼b=a。傳遞性：如果a=b，b=c，那麼a=c。

（其中對稱性和傳遞性可以由替代性和自反性推出。還有一個反對稱性由於比較特殊且我也不太看得懂（霧）就不在此列出）

那麼題主的問題可以以如下方式證明：

由於0是一個量，根據自反性，0=0。

（此處要默認0是一個量。但實際上什麼是量也沒有明確定義。）

什麼？這也叫證明？

實際上，並沒有一條公理說0=0。而上面的推理過程確實有一步。（答主耍賴時間）

0=0不需要證明只有一種情況：它本身是一條公理。

但將它作為公理是不太合理的：儘管它本身很簡單，但從它出發很難得到什麼結論（大概）。

因此，一般情況下認為：0=0需要證明。

Q.E.D.

（逃

等號＝可以用集合符號∈來定義，that is，a=b當且僅當x∈a←→x∈b，

為了證明在集合論體系下的所有含一個自由變數的表達式φ，當a=b時，φ(a)←→φ(b)，我們需要一個axiom：

a=b→(a∈x←→b∈x)，

因為集合論的公式都是從原子公式M∈N開始用∧，∨，﹁之類得出的，所以可以歸納出我們所要的結果來，直觀上說也就是「兩個對象相等就有完全相同的性質」。

而對於任何一個a，只要根據等號定義，證明是直接的。

不過另一個角度來說，如果你是說一個Abel群的零元唯一的話，那很好證明。假設0和0都是零元，那麼0=0＋0=0，平凡的。

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