在物理中，是否存在某個物理量正比於另一個物理量的無理數次冪的情況？
就是類似於
，其中
是無理數的情況。
在相變臨界點處，關聯長度發散，特徵的尺度不再存在，因此無論從什麼尺度看系統都似乎沒什麼區別，這是分形的特點，而測量相當簡單的分形的尺度，就會遇到無理數次冪。既然物理系統中常常蘊含難以想像的複雜結構，臨界指數就很有可能是無理數。下面解釋一個簡單的例子。
用長 的尺子去測量一條長
的曲線，結果會是
用邊長 的方格去測量一塊面積
的曲面，結果會是
這樣的測量值是符合冪律的，冪指數給出了「維數」 的自然定義
用更便於計算的方式改寫成
考慮Cantor集這一簡單的分形，也就是取一線段分成三份，去掉中間那一份，不斷重複這一操作：
自然，用長 的尺子去測量它，結果會是
。如果是其他長度的尺子，例如
時，
，我們有
類似地， 時，
，同樣有
因此它的維數
是一個無理數。
References:
K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.
很可能是存在的，比如三維 Ising model phase transition 的 critical exponents 似乎是無理數，可惜要證明應該很不容易。
x ∝ y＾α
在物理中power law關係里，α為小數情況並不少見。在相變點附近，序參量φ、熱容Cv、易感度χ、臨界尺度ξ等物理量隨著約化溫度的變化都是小數的power law。3d 的Ising目前數值算出來很可能是無理數，其他複雜約束條件下臨界指數是無理數也是可以預期的。
當然從量綱分析的角度看，這種小數的power law會要求y是無量綱的物理量。
除了相變臨界指數外的無理數關係感覺應該也有，不過暫時沒想到 （太菜了
舉一個簡單的例子吧 玻爾茲曼熵是s=kln（狀態數）（不知道怎麼打歐米茄www）這時候怎麼辦呢？只需要把熵換成分貝為單位就行了 就是一個公式是log型的前面的係數最好是實驗測的的一般真正的都是無理數 然後你把左邊的量換成分貝單位就行了 或者就找一些公式含有兩或以上個log的 這兩個量前面係數是無理數那他們在一些量不變的前提下就成無理數次方關係比如x=logy+klogz k是實驗測量量或著常見的pi 根號的無理數 在x不變的條件下 y和z成無理數次方的關係 換分貝那個例子可能不是很恰當 大家舉一反三就好（斜眼笑）
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某些物理現象可以出現無理數的冪，但要作為某個物理量 A 的無理數次冪沒有。
或者說 如果形式如 出現在在物理規律中，其中
泛指無理數，而b是有量綱的東西，不一定是單獨一個物理量，可能是好幾個物理量的乘積，這種情況的無理數次冪的話，總可以通過調整單位，使得新單位系統的b吸收了
。
我們有沒有共識：物理量默認是有量綱的？
對於通過好幾個有量綱的物理量乘積得到的無量綱量，我們一般心裡知道這是「無量綱物理常數」，而不是一個【物理量】。若有這樣的共識，一個有量綱的無理數次冪不應該出現在理論中。
如果是單純物理現象出現無理數的冪話，很多，僅列舉三種：1. Meissner effect;2. Friedel effect;
3. Schwinger effect
以上挑選的都是宏觀量子現象，它們聯繫的物理量的行為都出現e指數的冪。
另外，有誰能說明在量子修正下，猶如電子質量和基本電荷這類東西，一定不是無理數？
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