自然數之和

[公式]

自然數的平方和

[公式]

自然數的立方和

[公式]

那麼自然數的正整數次方和有什麼一般的通項公式嗎？

我是中學生，純屬好奇～

這種問題在我曾經辦過的一次網路數學競賽裏是作為壓軸題的，雖然這道壓軸題並不難，但是給出了計算所有 [公式] 前n項和的方法：二重求和換序。

這裡先直接放出關於這個問題的部分截圖：

題幹以及第一問已經完全解決了這個問題，一次求和可以推出二次求和，進而三次、四次、······都是沒有問題的。

上述方法還可以概括如下：

[公式]

上述方法是一種遞推方法，雖然前幾項計算方便，但是越往後計算量越大，後面的計算需要前面的結論作為鋪墊。筆者推薦下面要講的伯努利公式，每個和式都能獨立求出。

事實上，這種問題在我國古代屬於著名的垛積數列問題：

[公式]

下面講伯努利公式：

Bernoulli formula

[公式]

我們一般採用列差分表的方法來計算高階差分：

[公式]

伯努利公式可以解決所有多項式函數的求和問題，以 [公式] 和 [公式] 為例：

[公式]

再比如計算 [公式] ，運用伯努利公式得到：

[公式]

詳情參見：

垛積數與招差術 (科普向)?

mp.weixin.qq.com圖標

這個鏈接文中的伯努利公式有點小筆誤，以本次回答為準。

其他幾個回答的遞推方法過於複雜了，求和實際上是一個解函數方程的過程

把 [公式] 視作滿足如下方程的函數

[公式]

[公式]

那麼答案呼之欲出。

[公式]

因此， [公式]

[公式]

簡單說就是把前一個遞推式求個不定積分，乘上係數 [公式] ，再添加一個一次項把 [公式] 調節成1就行了

[公式] ，代入上式得

[公式] [公式] [公式]

[公式]

[公式]

用這種方法一口氣想算多少個算多少個

暴力的待定係數法就可以解。既然 [公式] 是 [公式] 的線性組合，設[公式]

這裡有 [公式] 個未知係數，只要讓 [公式] 取 [公式] 即可，也就是解如下方程組：

[公式]

令 [公式] ，[公式] 其中 [公式] 。注意到矩陣 [公式] 是個non-singular matrix（因為第 [公式] 行除以 [公式] 後就是Vandermonde matrix）。於是 [公式]

例如當 [公式] 時，

[公式]

則 [公式]

當 [公式] 時，

[公式]

則 [公式]

這裡提到的Vandermonde matrix的逆矩陣有現成的公式。例如：

https://proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Vandermonde_Matrix?

proofwiki.org

矩陣 [公式] 就是這裡的 [公式] 令 [公式]然後順時針旋轉90度得到的，有興趣可以具體寫出 [公式] 的表達式。

　　很多高大上的方法，我就用最平平無奇的級數微積分好了。考慮 [公式] 和運算元 [公式] ，顯然有

[公式]

然後由 [公式] ，

[公式]

最後注意 [公式] 是 [公式] 的可去奇點，有

[公式]

以下是一些計算結果

[公式]

以下內容來自我的筆記本(寫於一年前)。

自然數冪求和公式，簡稱冪和公式(Power Sum)，是指形如

[公式]

形式的關於 [公式] 的通項(遞推)表達。當 [公式] 給定時，它將是一個唯一對應的含 [公式] 多項式。下面主要介紹它的多種推導方法。

目錄
一、阿貝爾變換（阿爾哈曾遞推式）
二、二項式定理（垛積術）
方法 I
方法 II
方法 III
三、伯努利數（伯努利多項式）
四、差分表

一、阿貝爾變換 [公式] 阿爾哈曾遞推公式

首先設有兩個數列 [公式]，並令 [公式] ，那麼

[公式]

即

[公式]

上式稱為阿貝爾變換，即分部求和法。我們試著用它求 [公式]

[公式]

故有遞推公式

[公式]

這種關係可以用下圖示意。

遞推式告訴我們，求 [公式] ，可能需要先知道 [公式] 等等。

舉例

[公式]那麼，若去求 [公式][公式]這說明須知 [公式] ，因此[公式]從而[公式]這也說明 [公式] 須知 [公式] 。

二、二項式定理 [公式] 垛積術

方法 I

這裡我們記組合數為 [公式] ，有

[公式]

於是

[公式]

相加得到

[公式]

消項，

[公式]

將 [公式] 全部用 [公式] 替換則有

[公式]

類似地，必須通過前面所有項來遞推新的項。

方法 II

若以 [公式] 求：有

[公式]

等等，累加得到

[公式]

於是

[公式]

得到遞歸式

[公式]

（推導過程基於 [公式]）

方法 III

同樣以之前的例子，做二項式累加遞推有

[公式]

三、伯努利數（差分序列、斯特林）

[公式] 是變數為 [公式] ，次數為 [公式] 的多項式，稱其為伯努利多項式，其係數與伯努利數有關：設唯一序列 [公式] ，滿足生成函數 [公式]。首先考慮指數型母函數，

[公式]

根據伯努利數定義，由柯西乘積，

[公式]

對照係數有

[公式]

取 [公式] ，令 [公式] ，或者遞歸形式定義伯努利數 [公式]。 由遞推式，[公式] 代替 [公式] ,兩側加 [公式] 可得下方

[公式]左側是 [公式] 與一個係數全為 [公式] 的數列 [公式] 二項卷積。將 [公式] 指數生成函數(EGF)和 [公式] 乘起來，得到它們的二項卷積指數生成函數。 [公式] 和利用普通生成函數得分母上差數列只能寫調和數形式，故意義不大，用EGF有希望將等差數列移到指數上，得到等比數列。數列 [公式] 的EGF求 [公式] ，須將 [公式] 到 [公式] 的 [公式] 相加。[公式]右側可寫成兩個數列二項卷積形式， [公式] 實把 [公式] 生成函數去掉常數在普通生成函數意義下挪了一位，這導致二項式係數裏的 [公式] 。取 [公式] 第 [公式] 項係數乘 [公式] 即得公式。 一個數列的EGF是 [公式] 。例如， [公式] 。 同時補上 [公式] 的情況，右邊會多一個 [公式] ，即 [公式] ，右邊加 [公式] 特殊處理 [公式] 。

四、差分表——Schultz的 [公式] 多項式

首先 [公式] ，例如 [公式] 。若有 [公式] 個球和 [公式] 個盒子，枚舉最後一個球的位置 [公式] ，則剩下球放置的方案為 [公式]。現在我們來觀察如下解法：

[公式]

做法是儘可能化出 [公式] 再化為組合數。將該過程機械化——考慮使用差分： 稱 [公式] 為一階差分運算元。記一個序列 [公式] 次差分後的序列為 [公式] ，即 [公式] 階為 [公式]。任向 [公式] 次多項式點值經過 [公式] 次差分後都會變成全 [公式] 序列， [公式] 均為 [公式] 。對 [公式] 差分，設 [公式] 為第 [公式] 條對角線的第 [公式] 項( [公式] 的次數為 [公式] ， [公式] ， [公式] 階差分為 [公式] )，有 [公式] ，那麼

[公式]

實際應用——差分表

[公式] 求各階差分 [公式] 。分別依 [公式] 次序排行。

[公式]

多項式 [公式] 差分表斜列中各元素依次為 [公式] 對任何正整數 [公式] 都有

[公式]

舉例

求 [公式] ，令 [公式] [公式] 於是得到 [公式] 。同樣的，對於 [公式] ，第一行取 [公式] ,第二行取其差…… [公式] [公式] 對於 [公式] [公式]

利用差分形式可總結公式有(對於 [公式] )

[公式]

例如

[公式]

關於Schultz的 [公式] 的 [公式] 次多項式，求解每一項係數是解 [公式] 線性方程組。

[公式]係數 [公式] 滿足線性方程(組)：[公式] 其中 [公式] 為克羅內克記號，[公式] 。 取 [公式] 列出 [公式] 個線性方程，解出 [公式] 個係數。

參考 伯努利數, 等冪求和, The Bernoulli Number Page

另外附上十以內的含 [公式] 多項式

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