為什麼證明一個數學定理的時候往往不先驗證命題中的幾個條件是否有矛盾？

如題

謝邀。

對於「肯定性」的結論，確實是要驗證假設條件是相容的。最常見的做法是，找一個滿足所有假設條件的例子。很多情況下這種例子都是很好構造的，所以這個步驟往往省略。——當然這個「很好構造」也跟基礎知識、對該領域的熟悉程度有關。

不過有時候我們想要證的就是「否定性」的結論，比如說，證明某個東西不存在。這時候，我們可以假設這個東西存在，然後看看能不能推出一些不尋常的結論。比如，假設6維復球面存在，假設費馬大定理的反例存在，等等。這時候，我們不能指望一下子就推出矛盾，往往是推出一些中間結論，然後不同年代的數學家逐一推導出越來越像是矛盾的東西，最後真的有人推出了矛盾，用反證法證明那個東西不存在。或者另一個大牛證明了這個東西存在——可能是構造性證明，也可能是非構造的存在性證明（雖然直覺主義者不認可這種證明方式），之前推出的那些不尋常的結論，都可以作為這個奇怪的數學對象的特殊性質。雖然人們往往只記住最後踢出臨門一腳的那位定理命名者，但其實給出那些中間結論的數學家，他們的貢獻也不應被抹殺。

然後還有一種情況，也是前提假設並不會得到驗證——我們先假設某個大猜想成立，然後再去證要證的東西。典型的比如假設黎曼猜想成立。這種情況得到的也是中間步驟式的結論。直接證太難，不會證，假設大猜想以後能有更多工具更多結論可以用，這也是一類數學結果。

其實在很多學術論文的確做了這樣的驗證。

有些作者證明一個具體例子上的結果，他使用了某種的新方法A。通過抽象和概括，他發現這個結果也可以推廣到一般的情況，前提是具體例子中的某些條件B,C成立。那麼他有可能採用的寫作方法就是先寫一個抽象定理，其中要求的條件就是B,C,。然後他會一開始的具體例子作為應用。

實際上，寫得好的論文如果提了一個新條件，都會寫清楚什麼時候這個條件是成立的。如果它有一個抽象性的結果，也會至少舉一個例子來說明其結果的重要性，很多時候這個舉例是非常非常重要的。比較尷尬的情況就是你宣稱自己做了一個非常牛逼哄哄的結果，但是舉出的例子非常平凡。

首先，數學定理陳述的內容是「已知條件→結論」，而不是「已知條件∧結論」，僅僅是關注已知條件和結論之間的相對關係，而不關心已知條件成立與否.

其次，若已知條件蘊含矛盾，則定理為真，這是平凡的，所以不妨假設已知條件無矛盾.

是需要驗證的，但由於教給你的定理以及其證明過程都是已經被驗證過的，所以一般都省略了這一步，當然也有後來發現條件是錯的的時候，比如愛因斯坦提出相對論，指出經典物理學體系之中的一些所謂已知條件或公認正確的假設（公理，「常識」），其實是錯誤的。山東省初中數學教材曾委婉地向學生提醒過做題和作輔助線需要驗證是否矛盾。

該提醒好像是在七年級下冊，要麼就是上冊，我初中是05級的，那版教材里有個思考題，證明了任意三角形都是等腰三角形，讓我們思考錯在哪。該證明的錯誤之處在於作輔助線時，作底邊中垂線，作頂角角平分線，兩者在三角形內相交於某點，然後巴拉巴拉，但是實際上交點應該在三角形外。這就提醒我們，無論出題時題設的圖形，還是作輔助線後得到的圖形，都要注意不能是個矛盾的不存在的東西。

高中的時候，我們練習冊有道物理填空電場題，用兩種不同的方法可以得到兩個不同解，原因也是題設的條件是個不可能存在的電場，場強和電子分布存在矛盾。

那些一經推敲就是錯的東西，不可能作為定理教給學生，結果就是給人一種不用先驗條件是否矛盾的錯覺，所以相對論提出前好多物理學家自殺了，因為他們實在沒法理解出現的矛盾。

p蘊含q，其實就是 (非p)或q.

虛假前件蘊含任何後件。

如果前提有明顯的矛盾，那麼它就不值得作為一個定理髮表。

如果前提里的矛盾隱藏很深，一眼看不出來，那也不影響正確性。

有時候可能要先證明p蘊含q，後面利用這個結果證明p為假。

假設這個定理在某個知識體系中，那麼這個定理的證明用的是前面的結論，前面的結論又是通過前面的結論得到的，前面的結論又是通過前面的前面的結論得到的。以此類推，最後會歸結到一兩條公理上，這個就是公理化方法的作用。

很多公理化方法的運用，比如

《幾何原本》

歐幾里得（希臘）

《論動體的電動力學》（狹義相對論）

《廣義相對論基礎》

阿爾伯特?愛因斯坦（德國&>瑞士&>美國）

《論作為幾何學基礎的假設》（黎曼幾何）

波恩哈德?黎曼（德國）

....

包括你的小學、初中、高中數學書，初中、高中物理書（滑稽）

如果只是單純證明這個命題，那當然是不需要驗證條件是不是有矛盾的，舉個最簡單的例子:若x&<1，且x&>2，則x=0…

定理若p，則q的意思是，如果我這一步得到了p，就可以推出q，又不是首先p一定是對的，然後得到了p就可以得到q…

但在具體應用的時候，往往要說明幾個條件不互相矛盾，因為你寫出來的東西要make sense，方式往往是找一個具體的例子說明我的條件互相不是排斥的…

比如說你研究一個域上的scheme，假設它regular, integral, separated, finite type，得到了很多很好的結果，這本身沒什麼問題，但要出有意義的結果，就要說明至少有一個scheme是滿足上面的條件的，也就是驗證幾個條件不互斥，比如說一個nonsingular curve就滿足上面所有條件

當然，也有人真的犯過論文寫了一大堆最後發現條件是沒意義的這種錯誤…我測度論老師的一個學生就是這樣…

因為不需要，也不一定能；如果驗證是否有矛盾困難，那麼這個驗證本身可以作為一個獨立的定理。

比如Warings problem。我們研究某個函數g(k)的值。有這樣一個結論。如果，那麼。但是這個條件目前不知道是否有k使得它成立。也就是說，可能憑這個條件就能推出矛盾。