看著這張圖，開始冥想，你見過的數列大題都是什麼樣的

數列，無論是已知或者所求，無非這三種東西

遞推公式（ a_n 和 a_{n-1} 之間的關係）

通項公式（ a_n 和 n 之間的關係）

前n項和（ S_n ，有時是 S_n 和 a_n 的關係）

能遇到的題型，無非是實心箭頭指向的三種

A.已知遞推公式，求通項公式

B.已知通項公式，求前n項和

C.已知前n項和，求通項公式

所以遇到數列大題，就先問自己，A or B or C

弄清了是哪類題型，我們再來說具體的方法

A.已知遞推公式，求通項公式

1.找規律

最最耍賴的一個方法了，只適用於小題

就因為這個，如果填空16題出數列，我會很開心

（大題如果想用也可以，數學歸納法瞭解一下）

2.累加法

適用於，型如 a_{n+1}-a_n=f(n) 的題型

還是很好理解的，這就是等差數列的定義 a_{n+1}-a_n=d 的升級版嘛

3.累乘法

適用於，型如 frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n) 的題型

等比數列的定義 frac{a_{n+1}}{a_n}=q 的升級版咯

4.構造法

這個方法就厲害了，因為它包含：

4.1待定係數法

a_{n+1}=pa_n+q

構造成： a_{n+1}+lambda=p(a_n+lambda)

a_{n+1}=pa_n+An+B

構造成： a_{n+1}+lambda(n+1)+mu=p(a_n+lambda n+mu)

a_{n+1}=pa_n+An^2+Bn+C

構造成： a_{n+1}+lambda(n+1)^2+mu(n+1)+ u=p(a_n+lambda n^2+mu n+ u)

a_{n+1}=pa_n+q^n

構造成： frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}+lambda=frac{p}{q}(frac{a_{n}}{q^{n}}+lambda)

4.2同除法：

a_{n+1}a_{n}=a_{n+1}-a_{n}

構造成： frac{1}{a_n}-frac{1}{a_{n+1}}=1

4.3取倒法:

a_{n+1}=frac{a_n}{2a_n+1}

構造成： frac{1}{a_{n+1}}-frac{1}{a_n}=2

以上這麼多構造方法，看的頭大

別急，下面說一個好消息

就是為了降低難度，所以構造的問題，題中會給出線索！！

這類題通常不直接求通項，而是證一個數列是等差（比）數列

解：

f(x)=x^2+x-frac{1}{4} ，二次函數，咋解的我不說

a_{n+1}=a_n^2+a_n-frac{1}{4} ，坐標帶入函數，沒說的

現在得到的式子明顯是遞推公式，線索在於，問題中要證明數列 lg（a_n+frac{1}{2}） 是等比數列

怎麼證明數列是等比呢，定義唄，後一項 a_{n+1}=qa_n 唄

設 b_n=lg(a_{n}+frac{1}{2})

於是我們需要後一項 b_{n+1}=lg（a_{n+1}+frac{1}{2}） ，遞推公式帶入有b_{n+1}=lg（a_{n+1}+frac{1}{2}）=lg(a_n^2+a_n-frac{1}{4}+frac{1}{2})=lg(a_n+frac{1}{2})^2=2lg(a_n+frac{1}{2})=2b_{n}

奈斯！再求一下首項 b_1=lg2 ，公比為 2 ，等比數列得證。

B.已知通項公式，求前n項和（一般都在第二問上）

1.公式法（廢話）

等差數列，等比數列的求和公式不是白背的啊

發現一個數列是等差或者等比，直接用公式就可以求和了

2.倒序求和法（不考）

全國卷我沒見過需要用這個方法的

但還是要說，是因為等差數列求和的公式就是用它推導的

3.分組求和法（太簡單）

把求和的式子寫出來，最常見的類型是：

一部分是等差，一部分是等比，那就分開求和，再加在一起唄

4.列項相消法

型如： a_n=frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1} ;

a_n=frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=frac{1}{2}(frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1}) ;

a_n=frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=frac{1}{4}(frac{1}{4n-3}-frac{1}{4n+1}) ;

挺簡單的，注意前面的係數奧！最後相消的時候特別爽，是不是？

5.錯位相減法

等比數列求和就是用這個方法來的

進階一下：差比數列（等差數列乘以等比數列）的形式都可以用

具體方法，參考各種參考書吧，打字太麻煩了

然後騷操作就是網上已經瘋傳了的最後解的形式！

S_n=(An+B)q^n-B

這個結論超級超級好用，吹爆！！

C.已知前n項和，求通項公式

方法唯一，分為三步：

1.當 n=1，a_1=S_1=...

2.當 ngeq2，a_n=S_n-S_{n-1}=...

3.檢驗

然而，當題型是已知 S_n 和 a_n 的時候，用上述步驟2時，可能會推得一個遞推公式

那就變成已知遞推公式求通項公式的提醒咯，也就不需要第三步檢驗了

（所以最最前面的圖中，有一條從「前n項和」到「遞推公式」的虛線）

以上！

打了好多字好累啊，拜託點贊+評論+關注+收藏咯

另外，那一部分看不懂的話，留言給我，我可以填幾個例題進來！

愛你們

我還有個公眾號：極簡數學


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