為什麼不可以使用極限的定義求數列的極限?

數列極限的定義為何是圍繞驗證一個數是否是一個數列的極限。感覺這個定義是由概念的內函定義起來的。極限的定義應該是指明取得極限結果過程的定義。

題主有一點說的很對，就是現在廣泛使用的基於語言的極限定義，從哲學上來說屬於基於內函的定義——直接從字面上看這個定義，那麼我們只能夠判斷一個極限找的是不是正確；我們既不知道一個序列的極限到底存不存在，也不知道這個序列的極限是否唯一：對於一個基於內函的定義來說，這兩件事都是需要通過一個非平凡的證明來確認的事情。

其實從現代數學最近幾十年的發展來看，現代數學領域的幾乎所有定義都傾向於以內函的方式來確立——就連集合論中我們直覺上最符合「使用外延定義的概念」的類似交集、並集之類的術語，在現在主流的策梅洛-弗蘭克爾集合論中也是使用了「先定義並集應滿足的性質 — 引入公理保證並集存在 — 應用外延公理證明並集唯一性「這樣基於內函定義的方法來構建。從一方面來說，這種方法被廣泛採納是源於數學界長期流行的柏拉圖主義的本體論思想，即抽象數學對象客觀存在，並且不為人類的研究和探索所改變性質——在這樣的假設下，一位數學家大可以先用內函定義選出所有符合條件的數學對象，再去仔細討論選到的到底是空集、單元素集還是包含更多元素的集合，而不必如構成主義、直覺主義學派那樣擔心自己要討論的部分數學對象尚未被構建或描述出來。

從另一個角度來看，這樣的選擇也可以說是被現代數學所研究的對象的不可構造性所迫。這裡，我們把「構造「定義為用有限長度的數學語言去唯一地確定一個數學對象的過程，比如說將描述成，又或者將描述為的正平方根——這裡「正平方根」看似是一個內函的定義，似乎可能被排除出合格的「構造」之外，但是對於一個數學素養合格的理性人來說，正平方根的描述已經給出了一種在任意精度上逼近一個確定實數的方式（參見計算數學中的求根演算法），因而也算是用有限的語言向對方精確地指定了一個唯一的實數了。然而，這個「構造」的定義自然導出了一個問題，也就是人類通過能夠理解的有限多個辭彙、各自出現有限次的排列，總共能夠進行的有意義的描述最多也不會超過可數多種。但是，數學中研究的對象遠多於此，光是實數的數量就已經是不可數無限，因此顯然存在無數無法「構造」的數學對象，比如在實數中，這樣的數就被稱為「不可構造實數」。現在，如果我們要要求一個序列的極限是通過外延的方法、提及這個序列中原本存在的數來構造出來的，那麼考慮到最終的極限有可能是不可構造的數（這樣的序列顯然存在：雖然不能夠準確地指定某個不可構造數，但我們知道對於所有實數總是存在一個小數表示，因此只要取這個小數的前位作為第個數，我們就構造出了逼近任意一個給定實數的序列），想要找的外延構造方法很可能根本不存在或者只適用於部分實數（參考構成主義學派圍繞可構造數建立的受限的實分析，或者布勞威爾的直覺主義的「不能描述任何不連續全函數「的實分析）。

關於極限本身，不使用外延的定義還有另外一點考慮，就是在數學中的一般性思維下，我們不僅僅會對實數系定義極限，還會將極限的概念拓廣到任意的拓撲空間上。然而，極限的唯一性並非極限概念固有的性質，而是其內函定義在豪斯多夫空間上的推論，在一般的拓撲空間中並不成立。比如我們可以考慮將兩張等大小的紙對齊粘合在一起，但只留下一條無限窄的邊不粘合——這樣的工作在現實世界中是無法進行的，因為一個非豪斯多夫的拓撲空間不能被放入物理世界這個豪斯多夫的（近似）歐式三維空間中，但是在拓撲學中我們可以用商空間的形式來定義這種留下一邊分離的粘合方式。現在，想像一個動點從兩張紙重合部分的中心開始運動並無限靠近不粘合的邊緣，那麼這個動點的位置在時間趨向無窮大時的極限就可以在任意一張紙的邊緣上——也就是說，同一個序列在非豪斯多夫空間中獲得了兩個不同（不重合）的極限。可以想像，如果我們在加上一張、甚至更多無限薄的紙，上述的運動就可以獲得任意多、乃至於無限多的極限，因此，想要在任意的拓撲空間中外延地定義出極限，幾乎可以說是不可能的。

當然，最重要的一點是，即使使用基於語言的內函的極限定義，對於一個給定的（可構造的）序列，你想要的「取得極限結果的過程」也可以很容易地描述出來，比如在計算數學中常用的方法是：我們只需要不停地沿著序列遍歷下去，直到序列相鄰兩數之間的間隔小於一個給定的闕值，然後取序列中的當前數作為近似即可，如果繼續下去直到找到一個更小的闕值，就會獲得一個對極限的更精確的逼近（當然，對於任意給定的自然數，我們總可以構造出前項看似非常逼近某個實數，但是後續的項卻逼近另一個極限的序列，因此計算數學中一般也是對於某一個已知表達式的特定序列證明上述過程可以無限地逼近最終的極限）。對於許多序列，通過實分析，我們往往同時還會有直接消元、洛必達法則、泰勒級數展開等能夠求出極限精確值的更方便的辦法，而這些方法的正確性都是基於語言嚴格證明的。可想而知，如果我們運用某種構造性的語言，基於類似無窮小數或者闕值來外延地將極限定義為某個實際求極限的過程的結果，上述實分析求極限方法即使還能夠成立，其證明也將變得更加繁瑣，這可以從現代極限理論的奠基者之一柯西的《分析教程》書中一窺——據維基百科「語言」頁面^[1]總結，柯西雖然並未將描述作為其書中極限的定義，但在證明中依然察覺到這樣的表達方式非常方便並時常用到。這大約纔是波爾查諾、魏爾施特拉斯等大佬最終選擇語言作為極限嚴格定義的一個重要考量。