Def. 設 mathscr{R}^{1}=(-infty,+infty) ， mathscr{C} 為形如 (a,b],-infty 的區間類， <img src= 上的Euclid-Boral域是由 mathscr{C} 產生的Boral域，稱 mathscr{B}^{1} 中的集為線性Boral集。

Lema. mathscr{B}^{1} 上的每個概率測度通過如下的對應確定一分佈函數：

1） forall xinmathscr{R}^{1}:mu((-infty,x])=F(x)

對於 -infty ，有</P><P>2） <img src=

3） mu([a,b))=F(b-)-F(a-)

4） mu((a,b))=F(b-)-F(a)

5） mu([a,b])=F(b)-F(a-)

設 D 是 mathscr{R}^{1} 的任意稠子集，則此對應已被（1）中限制 xin D 的對應或當與都被限制在D中時的2）-5）中的四個關係中的任何一個所確定

Them. 每一個分佈函數 F 通過2）-5）中給出的任意關係或通過1）確定 mathscr{B}^{1} 上的一個概率測度。

Def. 對於 forall Ssubsetmathscr{R}^{1} ：

mu^{*}=inf_{U(open),Usubset S}mu(U)

mu_{*}=sup_{C(closed),Usubset S}mu(C)

mu^{*} 稱為外側度， mu_{*} 稱為內測度。顯然 mu^{*}gemu_{*} ，若 mu^{*}=mu_{*}=mu(S) ，則稱 S 可測

Them.

a)所有可測集類（ mathscr{L} ）構成一Boral域

b）在 mathscr{L} 上， mu 是一概率測度

c) mathscr{L} 包含最小Boral域 mathscr{B}^{1}

e.g. 1，(mathscr{R}^{1},mathscr{B}^{1},mu) 是一個拓撲測量空間，這種空間上的Boral域是由 mathscr{R}^{1} 上的一個給定Euclid拓撲的開集產生；

2，在代數測度空間中，任意一個域 mathscr{F_{0}} 起著開集的作用，給定在 mathscr{F_{0}} 上的一個測度可用類似的方法擴展到包含 mathscr{F}_{0} 的最小Boral域上去；

3，外側度可以如此定義：

mu^{*}(E)=infsum_{n}mu(U_{n}),U_{n}inmathscr{B_{0}},Esubsetigcup_{n}U_{n}

Them. 設 mathscr{F} 是由域 mathscr{F_{0}} 產生的Boral域， mu, u 是定義在上的兩個測度。若 mu 或 u 在 mathscr{F_{0}} 上 sigma- 有限，且對於 forall Einmathscr{F_{0}} 有 mu(E)= u(E) ，則對 forall Einmathscr{F} ， mu= u

Proof 設

mathscr{C}={Einmathscr{F}:mu(E)= u(E)}

有 mathscr{F_{0}}subsetmathscr{C} 。 forall n,E_{n}inmathscr{C},E_{n}uparrow E 或 E_{n}downarrow E ，根據 mu, u 的單調性有

mu(E)=lim_{n}mu(E_{n})=lim_{n} u(E_{n})= u(E)

所以 mathscr{C} 是一個單調類，故 mathscr{F}subsetmathscr{C}

思路都是類似的，想證明某個集合 mathscr{F} 滿足某個性質，先把這個集合中滿足這個性質的部分挑出來，形成一個子集 mathscr{C} ，則 mathscr{C}subsetmathscr{F} ；然後在找一個橋樑，根據兩個集合的性質，推導出 mathscr{F}subsetmathscr{C} ，這樣就證明瞭 mathscr{F}=mathscr{C} ，即這個集合具有這個性質。

Them. mu, u 在 mathscr{F_{0}} 上一致 Leftrightarrow 他們在類 mathscr{G} 上一致，且s.t. mathscr{G} 的元素的不想交的有限並組成 mathscr{F_{0}}

Them. 對 mathscr{B^{1}} 上給定的概率測度 mu ， exists! 分佈函數 F 滿足1）。反之，對於給定的分佈函數 F ， exists! 概率測度滿足1）-5）中的任意一個關係

Def. 概率空間 (Omega,mathscr{F},mathscr{P}) 稱為完備的，若 mathscr{F} 中s.t. mathscr{P}(F)=0 的集的任何子集也屬於 mathscr{F}

這個定義非常有味道，它無非是在說完備的是指：若 F_{n} o0 那麼exists n_{k}subset n ,F_{n_{k}} o0

Them. 對於給定的 (Omega,mathscr{F},mathscr{P}) ，存在一個完備概率空間 (Omega,overline{mathscr{F}},overline{mathscr{P}}) ，s.t. mathscr{F}subsetoverline{mathscr{F}} 且在 mathscr{F} 上 mathscr{P}=overline{mathscr{P}}

Proof. 設 mathscr{N} 是零集的子集類， overline{mathscr{F}} 是 Omega 的所有這樣的子集的類，則

overline{mathscr{F}}={EsubsetOmega:exists Finmathscr{F};EDelta Finmathscr{N}} （1）

overline{mathscr{F}} 是Boral域， mathscr{F}subsetoverline{mathscr{F}} ， forall Einoverline{mathscr{F}} ，令

overline{mathscr{P}}(E)=mathscr{P}(F)

其中是 F 滿足（1）的任何集。

現證明此定義不依賴 F 的選取，設

EDelta F_{1}inmathscr{N},EDelta F_{2}inmathscr{N}

(EDelta F_{1})Delta(EDelta F_{2})=(F_{1}Delta F_{2})Delta(EDelta E)=F_{1}Delta F_{2}

則 F_{1}Delta F_{2}inmathscr{N}，故 mathscr{F}(F_{1}Delta F_{2})=0，可知 mathscr{P}(F_{1})=mathscr{P}(F_{2}) 。

現證明兩個空間的概率測度是一樣的：

若 Einmathscr{F} ，則 EDelta E=varnothinginmathscr{N} ，故

overline{mathscr{P}}(E)=mathscr{P}(E)

現證明 (Omega,overline{mathscr{F}},overline{mathscr{P}}) 是完備的：

若Einoverline{mathscr{F}},overline{mathscr{P}}(E)=0，則Einmathscr{N}，故 E的任何子集也屬於 mathscr{N} 因而也屬於 overline{mathscr{F}}

這無非是在說，若要 mathscr{P}=overline{mathscr{P}} ，必須使得 overline{mathscr{P}}(overline{mathscr{F}}-mathscr{F})=0 ，即完備化後它倆差一個零測集

完備化的好處是可以把一個集合中的某些性質挑出來：若對於某個集合的某個性質，是對於這個集合中概率測度為零的部分不成立。如果概率空間是完備的，則可做出這樣的分解，把這種零集挑出來，形成一個新的函數：設 f 對可測 mathscr{F} ， Z 包含在零集中。定義 ilde{f}=egin{cases} f,& ext{在}Z^{c} ext{上}\K,& ext{在}Z ext{上}end{cases} 其中 K 是常數。若 (Omega,mathscr{F},mathscr{P}) 完備，則可測

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