概率論筆記(三) 概率測度的分佈函數
Def. 設 ,
為形如
上的Euclid-Boral域是由
產生的Boral域,稱
中的集為線性Boral集。
Lema. 上的每個概率測度通過如下的對應確定一分佈函數:
1)
對於
3)
4)
5)
設 是
的任意稠子集,則此對應已被(1)中限制
的對應或當與都被限制在D中時的2)-5)中的四個關係中的任何一個所確定
Them. 每一個分佈函數 通過2)-5)中給出的任意關係或通過1)確定
上的一個概率測度。
Def. 對於 :
稱為外側度,
稱為內測度。顯然
,若
,則稱
可測
Them.
a)所有可測集類( )構成一Boral域
b)在 上,
是一概率測度
c) 包含最小Boral域
e.g. 1, 是一個拓撲測量空間,這種空間上的Boral域是由
上的一個給定Euclid拓撲的開集產生;
2,在代數測度空間中,任意一個域 起著開集的作用,給定在
上的一個測度可用類似的方法擴展到包含
的最小Boral域上去;
3,外側度可以如此定義:
Them. 設 是由域
產生的Boral域,
是定義在上的兩個測度。若
或
在
上
有限,且對於
有
,則對
,
Proof 設
有 。
或
,根據
的單調性有
所以 是一個單調類,故
思路都是類似的,想證明某個集合
滿足某個性質,先把這個集合中滿足這個性質的部分挑出來,形成一個子集
,則
;然後在找一個橋樑,根據兩個集合的性質,推導出
,這樣就證明瞭
,即這個集合具有這個性質。
Them. 在
上一致
他們在類
上一致,且s.t.
的元素的不想交的有限並組成
Them. 對 上給定的概率測度
,
分佈函數
滿足1)。反之,對於給定的分佈函數
,
概率測度滿足1)-5)中的任意一個關係
Def. 概率空間 稱為完備的,若
中s.t.
的集的任何子集也屬於
這個定義非常有味道,它無非是在說完備的是指:若
那麼
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Them. 對於給定的 ,存在一個完備概率空間
,s.t.
且在
上
Proof. 設 是零集的子集類,
是
的所有這樣的子集的類,則
(1)
是Boral域,
,
,令
其中是 滿足(1)的任何集。
現證明此定義不依賴 的選取,設
則 ,故
,可知
。
現證明兩個空間的概率測度是一樣的:
若 ,則
,故
現證明 是完備的:
若,則
,故
的任何子集也屬於
因而也屬於
這無非是在說,若要
完備化的好處是可以把一個集合中的某些性質挑出來:若對於某個集合的某個性質,是對於這個集合中概率測度為零的部分不成立。如果概率空間是完備的,則可做出這樣的分解,把這種零集挑出來,形成一個新的函數:設,必須使得
,即完備化後它倆差一個零測集
對可測
,
包含在零集中。定義
其中
是常數。若
完備,則可測
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