概率論筆記(四)隨機變數
Def. 擴張實直線 為擴張Boral域
Def. 一個廣義實值隨機變數是一個函數 ,其定義域是 中的一個集 ,值域包含在 之中,s.t.對於 中的每一個 ,有
其中 是 在上 的跡。
一個復值隨機變數是一個定義在 中的一個集 上而在複平面上取值的函數,其實部與虛部都是實的有限值隨機變數
Def. 考慮從 到 的逆映射 ,其定義如下:
於是上述定義條件可以表述為: 將 的元素變為 的元素:
記為:
這樣一個函數稱為(關於 )是可測的,故隨機變數就是由 到 的可測函數
Them. IFF. 實數 ,或對 中的一個稠子集的 實數 ,有
時, 是一個隨機變數
Proof
上述條件可以寫成:
令
若 ,則
若 ,則
於是 , ,故是一個Boral域。這個Boral域包含所有形如 的區間,即使 限制在一個稠集中,這些區間也產生 ,故 ,即 , 是一個隨機變數
Them. 概率空間 上的每一個隨機變數根據如下關係,引出一個概率空間 :
review&e.g. 設是一可數集: , 為 的全Boral域。對於 :
在 上定義集函數 :
是一概率測度。
設在 上給定任意這樣的 。對 ,故有 定義,設其值為 ,則
這樣就將 上的所有可能的概率測度表示出來了,稱其為離散樣本空間
對於這樣的離散樣本空間,每一個數值函數都是隨機變數
Them. 如果 是一個隨機變數, 是 上的一個Boral可測函數,則 是一個隨機變數
Proof 把 的函數 看做複合映射:
有 ,故有
Them. 若 是隨機變數, 是二元Boral可測函數,則 是一個隨機變數。
Def.
Ratio. 若 是一個隨機變數, 是 上的連續函數,則 是一個隨機變數;特別地, 都是隨機變數,若 是隨機變數,則
都是隨機變數,對於最後一個 不為零
Them.若 是一隨機變數序列,則
都是隨機變數,且
是上的一個隨機變數,此處 是收斂點和發散於 的點的集合
Def. 若存在一個可數集 s.t. ,則稱隨機變數 為離散的(取可數值的)
Def. 對於每個 ,函數 定義如下:
此函數稱為 的示性函數。
顯然,IFF. 時, 是一個隨機變數。
Def. 的一個可數劃分是不相交集的一個可數類 ,對於 有
更一般地,設是任意實值函數,則函數 :
是一個離散隨機變數,稱為屬於加權劃分 的隨機變數。設 為的定義中的可數集,並令 ,則屬於加權劃分 。即每個離散隨機變數屬於某個劃分。若在一個有限指標集中取值,則稱劃分是有限的,屬於它的隨機變數稱為簡單的。
這裡,把Lebesgue積分和測度論很好的結合在了一起
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