Def. 擴張實直線 為擴張Boral域

Def. 一個廣義實值隨機變數是一個函數 ，其定義域是 中的一個集 ，值域包含在 之中，s.t.對於 中的每一個 ，有

其中 是 在上 的跡。

一個復值隨機變數是一個定義在 中的一個集 上而在複平面上取值的函數，其實部與虛部都是實的有限值隨機變數

Def. 考慮從 到 的逆映射 ，其定義如下：

於是上述定義條件可以表述為： 將 的元素變為 的元素：

記為：

這樣一個函數稱為（關於 ）是可測的，故隨機變數就是由 到 的可測函數

Them. IFF. 實數 ，或對 中的一個稠子集的 實數 ，有

時， 是一個隨機變數

Proof

上述條件可以寫成：

令

若 ，則

若 ，則

於是 ， ，故是一個Boral域。這個Boral域包含所有形如 的區間，即使 限制在一個稠集中，這些區間也產生 ，故 ，即 ， 是一個隨機變數

Them. 概率空間 上的每一個隨機變數根據如下關係，引出一個概率空間 ：

review&e.g. 設是一可數集： ， 為 的全Boral域。對於 ：

在 上定義集函數 ：

是一概率測度。

設在 上給定任意這樣的 。對 ，故有 定義，設其值為 ，則

這樣就將 上的所有可能的概率測度表示出來了，稱其為離散樣本空間

對於這樣的離散樣本空間，每一個數值函數都是隨機變數

Them. 如果 是一個隨機變數， 是 上的一個Boral可測函數，則 是一個隨機變數

Proof 把 的函數 看做複合映射：

有 ，故有

Them. 若 是隨機變數， 是二元Boral可測函數，則 是一個隨機變數。

Def.

Ratio. 若 是一個隨機變數， 是 上的連續函數，則 是一個隨機變數；特別地， 都是隨機變數，若 是隨機變數，則

都是隨機變數，對於最後一個 不為零

Them.若 是一隨機變數序列，則

都是隨機變數，且

是上的一個隨機變數，此處 是收斂點和發散於 的點的集合

Def. 若存在一個可數集 s.t. ，則稱隨機變數 為離散的（取可數值的）

Def. 對於每個 ，函數 定義如下：

此函數稱為 的示性函數。

顯然，IFF. 時， 是一個隨機變數。

Def. 的一個可數劃分是不相交集的一個可數類 ，對於 有

更一般地，設是任意實值函數，則函數 ：

是一個離散隨機變數，稱為屬於加權劃分 的隨機變數。設 為的定義中的可數集，並令 ，則屬於加權劃分 。即每個離散隨機變數屬於某個劃分。若在一個有限指標集中取值，則稱劃分是有限的，屬於它的隨機變數稱為簡單的。

這裡，把Lebesgue積分和測度論很好的結合在了一起

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